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Theorem mat2pmatval

Description: The result of a matrix transformation. (Contributed by AV, 31-Jul-2019)

Ref Expression
Hypotheses mat2pmatfval.t 
|- T = ( N matToPolyMat R )
mat2pmatfval.a 
|- A = ( N Mat R )
mat2pmatfval.b 
|- B = ( Base ` A )
mat2pmatfval.p 
|- P = ( Poly1 ` R )
mat2pmatfval.s 
|- S = ( algSc ` P )
Assertion mat2pmatval 
|- ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. B ) -> ( T ` M ) = ( x e. N , y e. N |-> ( S ` ( x M y ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mat2pmatfval.t 
 |-  T = ( N matToPolyMat R )
2 mat2pmatfval.a 
 |-  A = ( N Mat R )
3 mat2pmatfval.b 
 |-  B = ( Base ` A )
4 mat2pmatfval.p 
 |-  P = ( Poly1 ` R )
5 mat2pmatfval.s 
 |-  S = ( algSc ` P )
6 1 2 3 4 5 mat2pmatfval 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> T = ( m e. B |-> ( x e. N , y e. N |-> ( S ` ( x m y ) ) ) ) )
7 6 3adant3 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. B ) -> T = ( m e. B |-> ( x e. N , y e. N |-> ( S ` ( x m y ) ) ) ) )
8 oveq 
 |-  ( m = M -> ( x m y ) = ( x M y ) )
9 8 fveq2d 
 |-  ( m = M -> ( S ` ( x m y ) ) = ( S ` ( x M y ) ) )
10 9 mpoeq3dv 
 |-  ( m = M -> ( x e. N , y e. N |-> ( S ` ( x m y ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( S ` ( x M y ) ) ) )
11 10 adantl 
 |-  ( ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. B ) /\ m = M ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( S ` ( x m y ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( S ` ( x M y ) ) ) )
12 simp3 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. B ) -> M e. B )
13 simp1 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. B ) -> N e. Fin )
14 mpoexga 
 |-  ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( S ` ( x M y ) ) ) e. _V )
15 13 13 14 syl2anc 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. B ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( S ` ( x M y ) ) ) e. _V )
16 7 11 12 15 fvmptd 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. B ) -> ( T ` M ) = ( x e. N , y e. N |-> ( S ` ( x M y ) ) ) )