Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mbfres2cn.f |
|- ( ph -> F : A --> CC ) |
2 |
|
mbfres2cn.b |
|- ( ph -> ( F |` B ) e. MblFn ) |
3 |
|
mbfres2cn.c |
|- ( ph -> ( F |` C ) e. MblFn ) |
4 |
|
mbfres2cn.a |
|- ( ph -> ( B u. C ) = A ) |
5 |
|
ref |
|- Re : CC --> RR |
6 |
|
fco |
|- ( ( Re : CC --> RR /\ F : A --> CC ) -> ( Re o. F ) : A --> RR ) |
7 |
5 1 6
|
sylancr |
|- ( ph -> ( Re o. F ) : A --> RR ) |
8 |
|
resco |
|- ( ( Re o. F ) |` B ) = ( Re o. ( F |` B ) ) |
9 |
|
fresin |
|- ( F : A --> CC -> ( F |` B ) : ( A i^i B ) --> CC ) |
10 |
|
ismbfcn |
|- ( ( F |` B ) : ( A i^i B ) --> CC -> ( ( F |` B ) e. MblFn <-> ( ( Re o. ( F |` B ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( F |` B ) ) e. MblFn ) ) ) |
11 |
1 9 10
|
3syl |
|- ( ph -> ( ( F |` B ) e. MblFn <-> ( ( Re o. ( F |` B ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( F |` B ) ) e. MblFn ) ) ) |
12 |
2 11
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( Re o. ( F |` B ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( F |` B ) ) e. MblFn ) ) |
13 |
12
|
simpld |
|- ( ph -> ( Re o. ( F |` B ) ) e. MblFn ) |
14 |
8 13
|
eqeltrid |
|- ( ph -> ( ( Re o. F ) |` B ) e. MblFn ) |
15 |
|
resco |
|- ( ( Re o. F ) |` C ) = ( Re o. ( F |` C ) ) |
16 |
|
fresin |
|- ( F : A --> CC -> ( F |` C ) : ( A i^i C ) --> CC ) |
17 |
|
ismbfcn |
|- ( ( F |` C ) : ( A i^i C ) --> CC -> ( ( F |` C ) e. MblFn <-> ( ( Re o. ( F |` C ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( F |` C ) ) e. MblFn ) ) ) |
18 |
1 16 17
|
3syl |
|- ( ph -> ( ( F |` C ) e. MblFn <-> ( ( Re o. ( F |` C ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( F |` C ) ) e. MblFn ) ) ) |
19 |
3 18
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( Re o. ( F |` C ) ) e. MblFn /\ ( Im o. ( F |` C ) ) e. MblFn ) ) |
20 |
19
|
simpld |
|- ( ph -> ( Re o. ( F |` C ) ) e. MblFn ) |
21 |
15 20
|
eqeltrid |
|- ( ph -> ( ( Re o. F ) |` C ) e. MblFn ) |
22 |
7 14 21 4
|
mbfres2 |
|- ( ph -> ( Re o. F ) e. MblFn ) |
23 |
|
imf |
|- Im : CC --> RR |
24 |
|
fco |
|- ( ( Im : CC --> RR /\ F : A --> CC ) -> ( Im o. F ) : A --> RR ) |
25 |
23 1 24
|
sylancr |
|- ( ph -> ( Im o. F ) : A --> RR ) |
26 |
|
resco |
|- ( ( Im o. F ) |` B ) = ( Im o. ( F |` B ) ) |
27 |
12
|
simprd |
|- ( ph -> ( Im o. ( F |` B ) ) e. MblFn ) |
28 |
26 27
|
eqeltrid |
|- ( ph -> ( ( Im o. F ) |` B ) e. MblFn ) |
29 |
|
resco |
|- ( ( Im o. F ) |` C ) = ( Im o. ( F |` C ) ) |
30 |
19
|
simprd |
|- ( ph -> ( Im o. ( F |` C ) ) e. MblFn ) |
31 |
29 30
|
eqeltrid |
|- ( ph -> ( ( Im o. F ) |` C ) e. MblFn ) |
32 |
25 28 31 4
|
mbfres2 |
|- ( ph -> ( Im o. F ) e. MblFn ) |
33 |
|
ismbfcn |
|- ( F : A --> CC -> ( F e. MblFn <-> ( ( Re o. F ) e. MblFn /\ ( Im o. F ) e. MblFn ) ) ) |
34 |
1 33
|
syl |
|- ( ph -> ( F e. MblFn <-> ( ( Re o. F ) e. MblFn /\ ( Im o. F ) e. MblFn ) ) ) |
35 |
22 32 34
|
mpbir2and |
|- ( ph -> F e. MblFn ) |