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Theorem merlem9

Description: Step 18 of Meredith's proof of Lukasiewicz axioms from his sole axiom. (Contributed by NM, 22-Dec-2002) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion merlem9 
|- ( ( ( ph -> ps ) -> ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) ) -> ( et -> ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 merlem6 
 |-  ( ( th -> ( ps -> ta ) ) -> ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) )
2 merlem8 
 |-  ( ( ( th -> ( ps -> ta ) ) -> ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) ) -> ( ( ( ( ps -> ta ) -> ( -. ( -. ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) -> -. th ) -> -. ph ) ) -> ( -. ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) -> -. th ) ) -> ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) ) )
3 1 2 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ps -> ta ) -> ( -. ( -. ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) -> -. th ) -> -. ph ) ) -> ( -. ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) -> -. th ) ) -> ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) )
4 meredith 
 |-  ( ( ( ( ( ps -> ta ) -> ( -. ( -. ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) -> -. th ) -> -. ph ) ) -> ( -. ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) -> -. th ) ) -> ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) ) -> ( ( ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) )
5 3 4 ax-mp 
 |-  ( ( ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) )
6 meredith 
 |-  ( ( ( ( ( ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) -> -. et ) -> ( -. ps -> -. et ) ) -> ps ) -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) ) -> ( et -> ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) ) ) )
7 5 6 ax-mp 
 |-  ( ( ( ph -> ps ) -> ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) ) -> ( et -> ( ch -> ( th -> ( ps -> ta ) ) ) ) )