Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
metakunt17.1 |
|- ( ph -> G : A -1-1-onto-> X ) |
2 |
|
metakunt17.2 |
|- ( ph -> H : B -1-1-onto-> Y ) |
3 |
|
metakunt17.3 |
|- ( ph -> I : C -1-1-onto-> Z ) |
4 |
|
metakunt17.4 |
|- ( ph -> ( A i^i B ) = (/) ) |
5 |
|
metakunt17.5 |
|- ( ph -> ( A i^i C ) = (/) ) |
6 |
|
metakunt17.6 |
|- ( ph -> ( B i^i C ) = (/) ) |
7 |
|
metakunt17.7 |
|- ( ph -> ( X i^i Y ) = (/) ) |
8 |
|
metakunt17.8 |
|- ( ph -> ( X i^i Z ) = (/) ) |
9 |
|
metakunt17.9 |
|- ( ph -> ( Y i^i Z ) = (/) ) |
10 |
|
metakunt17.10 |
|- ( ph -> F = ( ( G u. H ) u. I ) ) |
11 |
|
metakunt17.11 |
|- ( ph -> D = ( ( A u. B ) u. C ) ) |
12 |
|
metakunt17.12 |
|- ( ph -> W = ( ( X u. Y ) u. Z ) ) |
13 |
4 7
|
jca |
|- ( ph -> ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( X i^i Y ) = (/) ) ) |
14 |
1 2 13
|
jca31 |
|- ( ph -> ( ( G : A -1-1-onto-> X /\ H : B -1-1-onto-> Y ) /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( X i^i Y ) = (/) ) ) ) |
15 |
|
f1oun |
|- ( ( ( G : A -1-1-onto-> X /\ H : B -1-1-onto-> Y ) /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( X i^i Y ) = (/) ) ) -> ( G u. H ) : ( A u. B ) -1-1-onto-> ( X u. Y ) ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( ph -> ( G u. H ) : ( A u. B ) -1-1-onto-> ( X u. Y ) ) |
17 |
|
indir |
|- ( ( A u. B ) i^i C ) = ( ( A i^i C ) u. ( B i^i C ) ) |
18 |
5 6
|
uneq12d |
|- ( ph -> ( ( A i^i C ) u. ( B i^i C ) ) = ( (/) u. (/) ) ) |
19 |
|
0un |
|- ( (/) u. (/) ) = (/) |
20 |
19
|
a1i |
|- ( ph -> ( (/) u. (/) ) = (/) ) |
21 |
18 20
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( ( A i^i C ) u. ( B i^i C ) ) = (/) ) |
22 |
17 21
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( ( A u. B ) i^i C ) = (/) ) |
23 |
|
indir |
|- ( ( X u. Y ) i^i Z ) = ( ( X i^i Z ) u. ( Y i^i Z ) ) |
24 |
8 9
|
uneq12d |
|- ( ph -> ( ( X i^i Z ) u. ( Y i^i Z ) ) = ( (/) u. (/) ) ) |
25 |
24 20
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( ( X i^i Z ) u. ( Y i^i Z ) ) = (/) ) |
26 |
23 25
|
syl5eq |
|- ( ph -> ( ( X u. Y ) i^i Z ) = (/) ) |
27 |
22 26
|
jca |
|- ( ph -> ( ( ( A u. B ) i^i C ) = (/) /\ ( ( X u. Y ) i^i Z ) = (/) ) ) |
28 |
16 3 27
|
jca31 |
|- ( ph -> ( ( ( G u. H ) : ( A u. B ) -1-1-onto-> ( X u. Y ) /\ I : C -1-1-onto-> Z ) /\ ( ( ( A u. B ) i^i C ) = (/) /\ ( ( X u. Y ) i^i Z ) = (/) ) ) ) |
29 |
|
f1oun |
|- ( ( ( ( G u. H ) : ( A u. B ) -1-1-onto-> ( X u. Y ) /\ I : C -1-1-onto-> Z ) /\ ( ( ( A u. B ) i^i C ) = (/) /\ ( ( X u. Y ) i^i Z ) = (/) ) ) -> ( ( G u. H ) u. I ) : ( ( A u. B ) u. C ) -1-1-onto-> ( ( X u. Y ) u. Z ) ) |
30 |
28 29
|
syl |
|- ( ph -> ( ( G u. H ) u. I ) : ( ( A u. B ) u. C ) -1-1-onto-> ( ( X u. Y ) u. Z ) ) |
31 |
10 11 12
|
f1oeq123d |
|- ( ph -> ( F : D -1-1-onto-> W <-> ( ( G u. H ) u. I ) : ( ( A u. B ) u. C ) -1-1-onto-> ( ( X u. Y ) u. Z ) ) ) |
32 |
30 31
|
mpbird |
|- ( ph -> F : D -1-1-onto-> W ) |