Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mgm2nsgrp.s |
|- S = { A , B } |
2 |
|
mgm2nsgrp.b |
|- ( Base ` M ) = S |
3 |
|
mgm2nsgrp.o |
|- ( +g ` M ) = ( x e. S , y e. S |-> if ( ( x = A /\ y = A ) , B , A ) ) |
4 |
|
prid1g |
|- ( A e. V -> A e. { A , B } ) |
5 |
4 1
|
eleqtrrdi |
|- ( A e. V -> A e. S ) |
6 |
|
prid2g |
|- ( B e. W -> B e. { A , B } ) |
7 |
6 1
|
eleqtrrdi |
|- ( B e. W -> B e. S ) |
8 |
2
|
eqcomi |
|- S = ( Base ` M ) |
9 |
|
ne0i |
|- ( A e. S -> S =/= (/) ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> S =/= (/) ) |
11 |
|
simplr |
|- ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> B e. S ) |
12 |
|
simpll |
|- ( ( ( A e. S /\ B e. S ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A e. S ) |
13 |
8 3 10 11 12
|
opifismgm |
|- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> M e. Mgm ) |
14 |
5 7 13
|
syl2an |
|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> M e. Mgm ) |