Theorem mnuop3d

Description: Third operation of a minimal universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	mnuop3d.1	|- M = { k | A. l e. k ( ~P l C_ k /\ A. m E. n e. k ( ~P l C_ n /\ A. p e. l ( E. q e. k ( p e. q /\ q e. m ) -> E. r e. m ( p e. r /\ U. r C_ n ) ) ) ) }
	mnuop3d.2	|- ( ph -> U e. M )
	mnuop3d.3	|- ( ph -> A e. U )
	mnuop3d.4	|- ( ph -> F C_ U )
Assertion	mnuop3d	|- ( ph -> E. w e. U A. i e. A ( E. v e. F i e. v -> E. u e. F ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnuop3d.1	|- M = { k | A. l e. k ( ~P l C_ k /\ A. m E. n e. k ( ~P l C_ n /\ A. p e. l ( E. q e. k ( p e. q /\ q e. m ) -> E. r e. m ( p e. r /\ U. r C_ n ) ) ) ) }
2		mnuop3d.2	|- ( ph -> U e. M )
3		mnuop3d.3	|- ( ph -> A e. U )
4		mnuop3d.4	|- ( ph -> F C_ U )
5	2 4	sselpwd	|- ( ph -> F e. ~P U )
6	1 2 3 5	mnuop23d	|- ( ph -> E. w e. U ( ~P A C_ w /\ A. i e. A ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. F ) -> E. u e. F ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) )
7	4	sseld	|- ( ph -> ( v e. F -> v e. U ) )
8	7	adantrd	|- ( ph -> ( ( v e. F /\ i e. v ) -> v e. U ) )
9		pm3.22	|- ( ( v e. F /\ i e. v ) -> ( i e. v /\ v e. F ) )
10	8 9	jca2	|- ( ph -> ( ( v e. F /\ i e. v ) -> ( v e. U /\ ( i e. v /\ v e. F ) ) ) )
11	10	reximdv2	|- ( ph -> ( E. v e. F i e. v -> E. v e. U ( i e. v /\ v e. F ) ) )
12	11	imim1d	|- ( ph -> ( ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. F ) -> E. u e. F ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) -> ( E. v e. F i e. v -> E. u e. F ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) )
13	12	ralimdv	|- ( ph -> ( A. i e. A ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. F ) -> E. u e. F ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) -> A. i e. A ( E. v e. F i e. v -> E. u e. F ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) )
14	13	adantld	|- ( ph -> ( ( ~P A C_ w /\ A. i e. A ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. F ) -> E. u e. F ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) -> A. i e. A ( E. v e. F i e. v -> E. u e. F ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) )
15	14	reximdv	|- ( ph -> ( E. w e. U ( ~P A C_ w /\ A. i e. A ( E. v e. U ( i e. v /\ v e. F ) -> E. u e. F ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) -> E. w e. U A. i e. A ( E. v e. F i e. v -> E. u e. F ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) )
16	6 15	mpd	|- ( ph -> E. w e. U A. i e. A ( E. v e. F i e. v -> E. u e. F ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) )