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Theorem neissex

Description: For any neighborhood N of S , there is a neighborhood x of S such that N is a neighborhood of all subsets of x . Generalization to subsets of Property V_iv of BourbakiTop1 p. I.3. (Contributed by FL, 2-Oct-2006)

Ref Expression
Assertion neissex
|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 neii2
 |-  ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. J ( S C_ x /\ x C_ N ) )
2 opnneiss
 |-  ( ( J e. Top /\ x e. J /\ S C_ x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
3 2 3expb
 |-  ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ S C_ x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
4 3 adantrrr
 |-  ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
5 4 adantlr
 |-  ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` S ) )
6 simplll
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> J e. Top )
7 simpll
 |-  ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> J e. Top )
8 simpr
 |-  ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> x e. J )
9 eqid
 |-  U. J = U. J
10 9 neii1
 |-  ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> N C_ U. J )
11 10 adantr
 |-  ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> N C_ U. J )
12 9 opnssneib
 |-  ( ( J e. Top /\ x e. J /\ N C_ U. J ) -> ( x C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) ) )
13 7 8 11 12 syl3anc
 |-  ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) -> ( x C_ N <-> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) ) )
14 13 biimpa
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ x e. J ) /\ x C_ N ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
15 14 anasss
 |-  ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
16 15 adantr
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` x ) )
17 simpr
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> y C_ x )
18 neiss
 |-  ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` x ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) )
19 6 16 17 18 syl3anc
 |-  ( ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) /\ y C_ x ) -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) )
20 19 ex
 |-  ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ x C_ N ) ) -> ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
21 20 adantrrl
 |-  ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
22 21 alrimiv
 |-  ( ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) /\ ( x e. J /\ ( S C_ x /\ x C_ N ) ) ) -> A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )
23 1 5 22 reximssdv
 |-  ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` S ) A. y ( y C_ x -> N e. ( ( nei ` J ) ` y ) ) )