Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elni |
|- ( A e. N. <-> ( A e. _om /\ A =/= (/) ) ) |
2 |
1
|
simprbi |
|- ( A e. N. -> A =/= (/) ) |
3 |
|
noel |
|- -. A e. (/) |
4 |
|
1pi |
|- 1o e. N. |
5 |
|
ltpiord |
|- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( A A e. 1o ) ) |
6 |
4 5
|
mpan2 |
|- ( A e. N. -> ( A A e. 1o ) ) |
7 |
|
df-1o |
|- 1o = suc (/) |
8 |
7
|
eleq2i |
|- ( A e. 1o <-> A e. suc (/) ) |
9 |
|
elsucg |
|- ( A e. N. -> ( A e. suc (/) <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) ) |
10 |
8 9
|
syl5bb |
|- ( A e. N. -> ( A e. 1o <-> ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) ) |
11 |
6 10
|
bitrd |
|- ( A e. N. -> ( A ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) ) |
12 |
11
|
biimpa |
|- ( ( A e. N. /\ A ( A e. (/) \/ A = (/) ) ) |
13 |
12
|
ord |
|- ( ( A e. N. /\ A ( -. A e. (/) -> A = (/) ) ) |
14 |
3 13
|
mpi |
|- ( ( A e. N. /\ A A = (/) ) |
15 |
14
|
ex |
|- ( A e. N. -> ( A A = (/) ) ) |
16 |
15
|
necon3ad |
|- ( A e. N. -> ( A =/= (/) -> -. A |
17 |
2 16
|
mpd |
|- ( A e. N. -> -. A |
18 |
|
ltrelpi |
|- |
19 |
18
|
brel |
|- ( A ( A e. N. /\ 1o e. N. ) ) |
20 |
19
|
simpld |
|- ( A A e. N. ) |
21 |
20
|
con3i |
|- ( -. A e. N. -> -. A |
22 |
17 21
|
pm2.61i |
|- -. A |