Theorem oldmm2

Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. ( chdmm2 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011)

	Ref	Expression
Hypotheses	oldmm1.b	|- B = ( Base ` K )
	oldmm1.j	|- .\/ = ( join ` K )
	oldmm1.m	|- ./\ = ( meet ` K )
	oldmm1.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion	oldmm2	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) ./\ Y ) ) = ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	|- B = ( Base ` K )
2		oldmm1.j	|- .\/ = ( join ` K )
3		oldmm1.m	|- ./\ = ( meet ` K )
4		oldmm1.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
5		olop	|- ( K e. OL -> K e. OP )
6	1 4	opoccl	|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
7	5 6	sylan	|- ( ( K e. OL /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
8	7	3adant3	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
9	1 2 3 4	oldmm1	|- ( ( K e. OL /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) ./\ Y ) ) = ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) )
10	8 9	syld3an2	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) ./\ Y ) ) = ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) )
11	1 4	opococ	|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
12	5 11	sylan	|- ( ( K e. OL /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
13	12	3adant3	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
14	13	oveq1d	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) = ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) )
15	10 14	eqtrd	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) ./\ Y ) ) = ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) )