Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
omllaw.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
omllaw.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
omllaw.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
omllaw.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
omllaw.o |
|- ._|_ = ( oc ` K ) |
6 |
1 2 3 4 5
|
isoml |
|- ( K e. OML <-> ( K e. OL /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y -> y = ( x .\/ ( y ./\ ( ._|_ ` x ) ) ) ) ) ) |
7 |
6
|
simprbi |
|- ( K e. OML -> A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y -> y = ( x .\/ ( y ./\ ( ._|_ ` x ) ) ) ) ) |
8 |
|
breq1 |
|- ( x = X -> ( x .<_ y <-> X .<_ y ) ) |
9 |
|
id |
|- ( x = X -> x = X ) |
10 |
|
fveq2 |
|- ( x = X -> ( ._|_ ` x ) = ( ._|_ ` X ) ) |
11 |
10
|
oveq2d |
|- ( x = X -> ( y ./\ ( ._|_ ` x ) ) = ( y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) |
12 |
9 11
|
oveq12d |
|- ( x = X -> ( x .\/ ( y ./\ ( ._|_ ` x ) ) ) = ( X .\/ ( y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) ) |
13 |
12
|
eqeq2d |
|- ( x = X -> ( y = ( x .\/ ( y ./\ ( ._|_ ` x ) ) ) <-> y = ( X .\/ ( y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) ) ) |
14 |
8 13
|
imbi12d |
|- ( x = X -> ( ( x .<_ y -> y = ( x .\/ ( y ./\ ( ._|_ ` x ) ) ) ) <-> ( X .<_ y -> y = ( X .\/ ( y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) ) ) ) |
15 |
|
breq2 |
|- ( y = Y -> ( X .<_ y <-> X .<_ Y ) ) |
16 |
|
id |
|- ( y = Y -> y = Y ) |
17 |
|
oveq1 |
|- ( y = Y -> ( y ./\ ( ._|_ ` X ) ) = ( Y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) |
18 |
17
|
oveq2d |
|- ( y = Y -> ( X .\/ ( y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) = ( X .\/ ( Y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) ) |
19 |
16 18
|
eqeq12d |
|- ( y = Y -> ( y = ( X .\/ ( y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) <-> Y = ( X .\/ ( Y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) ) ) |
20 |
15 19
|
imbi12d |
|- ( y = Y -> ( ( X .<_ y -> y = ( X .\/ ( y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) ) <-> ( X .<_ Y -> Y = ( X .\/ ( Y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) ) ) ) |
21 |
14 20
|
rspc2v |
|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y -> y = ( x .\/ ( y ./\ ( ._|_ ` x ) ) ) ) -> ( X .<_ Y -> Y = ( X .\/ ( Y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) ) ) ) |
22 |
7 21
|
syl5com |
|- ( K e. OML -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> Y = ( X .\/ ( Y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) ) ) ) |
23 |
22
|
3impib |
|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> Y = ( X .\/ ( Y ./\ ( ._|_ ` X ) ) ) ) ) |