Theorem pwinfi2

Description: The powerclass of an infinite set is an infinite set, and vice-versa. Here U is a weak universe. (Contributed by RP, 21-Mar-2020)

	Ref	Expression
Assertion	pwinfi2	|- ( U e. WUni -> ( A e. ( U \ Fin ) <-> ~P A e. ( U \ Fin ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswun	|- ( U e. WUni -> ( U e. WUni <-> ( Tr U /\ U =/= (/) /\ A. x e. U ( U. x e. U /\ ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U ) ) ) )
2	1	ibi	|- ( U e. WUni -> ( Tr U /\ U =/= (/) /\ A. x e. U ( U. x e. U /\ ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U ) ) )
3		3simpa	|- ( ( U. x e. U /\ ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U ) -> ( U. x e. U /\ ~P x e. U ) )
4	3	ralimi	|- ( A. x e. U ( U. x e. U /\ ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U ) -> A. x e. U ( U. x e. U /\ ~P x e. U ) )
5	4	3ad2ant3	|- ( ( Tr U /\ U =/= (/) /\ A. x e. U ( U. x e. U /\ ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U ) ) -> A. x e. U ( U. x e. U /\ ~P x e. U ) )
6		pwinfig	|- ( A. x e. U ( U. x e. U /\ ~P x e. U ) -> ( A e. ( U \ Fin ) <-> ~P A e. ( U \ Fin ) ) )
7	2 5 6	3syl	|- ( U e. WUni -> ( A e. ( U \ Fin ) <-> ~P A e. ( U \ Fin ) ) )