Theorem r2alan

Description: Double restricted universal quantification, special case. (Contributed by Peter Mazsa, 17-Jun-2020)

	Ref	Expression
Assertion	r2alan	|- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ps ) <-> A. x e. A A. y e. B ( ph -> ps ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		impexp	|- ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ps ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( ph -> ps ) ) )
2	1	2albii	|- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ps ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( ph -> ps ) ) )
3		r2al	|- ( A. x e. A A. y e. B ( ph -> ps ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( ph -> ps ) ) )
4	2 3	bitr4i	|- ( A. x A. y ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) -> ps ) <-> A. x e. A A. y e. B ( ph -> ps ) )