Theorem ralss

Description: Restricted universal quantification on a subset in terms of superset. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015) Avoid axioms. (Revised by SN, 14-Oct-2025)

	Ref	Expression
Assertion	ralss	|- ( A C_ B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ( x e. A -> ph ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss	|- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
2		id	|- ( ( x e. A -> x e. B ) -> ( x e. A -> x e. B ) )
3	2	pm4.71rd	|- ( ( x e. A -> x e. B ) -> ( x e. A <-> ( x e. B /\ x e. A ) ) )
4	3	imbi1d	|- ( ( x e. A -> x e. B ) -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( ( x e. B /\ x e. A ) -> ph ) ) )
5		impexp	|- ( ( ( x e. B /\ x e. A ) -> ph ) <-> ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) )
6	4 5	bitrdi	|- ( ( x e. A -> x e. B ) -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) ) )
7	6	alimi	|- ( A. x ( x e. A -> x e. B ) -> A. x ( ( x e. A -> ph ) <-> ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) ) )
8	1 7	sylbi	|- ( A C_ B -> A. x ( ( x e. A -> ph ) <-> ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) ) )
9		albi	|- ( A. x ( ( x e. A -> ph ) <-> ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) ) -> ( A. x ( x e. A -> ph ) <-> A. x ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) ) )
10	8 9	syl	|- ( A C_ B -> ( A. x ( x e. A -> ph ) <-> A. x ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) ) )
11		df-ral	|- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
12		df-ral	|- ( A. x e. B ( x e. A -> ph ) <-> A. x ( x e. B -> ( x e. A -> ph ) ) )
13	10 11 12	3bitr4g	|- ( A C_ B -> ( A. x e. A ph <-> A. x e. B ( x e. A -> ph ) ) )