Theorem ralxfr2d

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2014)

	Ref	Expression
Hypotheses	ralxfr2d.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. V )
	ralxfr2d.2	|- ( ph -> ( x e. B <-> E. y e. C x = A ) )
	ralxfr2d.3	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
Assertion	ralxfr2d	|- ( ph -> ( A. x e. B ps <-> A. y e. C ch ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralxfr2d.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. V )
2		ralxfr2d.2	|- ( ph -> ( x e. B <-> E. y e. C x = A ) )
3		ralxfr2d.3	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
4		elisset	|- ( A e. V -> E. x x = A )
5	1 4	syl	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> E. x x = A )
6	2	biimprd	|- ( ph -> ( E. y e. C x = A -> x e. B ) )
7		r19.23v	|- ( A. y e. C ( x = A -> x e. B ) <-> ( E. y e. C x = A -> x e. B ) )
8	6 7	sylibr	|- ( ph -> A. y e. C ( x = A -> x e. B ) )
9	8	r19.21bi	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( x = A -> x e. B ) )
10		eleq1	|- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
11	9 10	mpbidi	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( x = A -> A e. B ) )
12	11	exlimdv	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( E. x x = A -> A e. B ) )
13	5 12	mpd	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. B )
14	2	biimpa	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. C x = A )
15	13 14 3	ralxfrd	|- ( ph -> ( A. x e. B ps <-> A. y e. C ch ) )