Theorem rexxfr2d

Description: Transfer universal quantification from a variable x to another variable y contained in expression A . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2014) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Nov-2016)

	Ref	Expression
Hypotheses	ralxfr2d.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. V )
	ralxfr2d.2	|- ( ph -> ( x e. B <-> E. y e. C x = A ) )
	ralxfr2d.3	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
Assertion	rexxfr2d	|- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralxfr2d.1	|- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. V )
2		ralxfr2d.2	|- ( ph -> ( x e. B <-> E. y e. C x = A ) )
3		ralxfr2d.3	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ps <-> ch ) )
4	3	notbid	|- ( ( ph /\ x = A ) -> ( -. ps <-> -. ch ) )
5	1 2 4	ralxfr2d	|- ( ph -> ( A. x e. B -. ps <-> A. y e. C -. ch ) )
6	5	notbid	|- ( ph -> ( -. A. x e. B -. ps <-> -. A. y e. C -. ch ) )
7		dfrex2	|- ( E. x e. B ps <-> -. A. x e. B -. ps )
8		dfrex2	|- ( E. y e. C ch <-> -. A. y e. C -. ch )
9	6 7 8	3bitr4g	|- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. y e. C ch ) )