Metamath Proof Explorer

Theorem rr-groth

Description: An equivalent of ax-groth using only simple defined symbols. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023)

Ref Expression
Assertion rr-groth 
|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ A. f E. w e. y ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. y ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 gruex 
 |-  E. y e. Univ x e. y
2 df-rex 
 |-  ( E. y e. Univ x e. y <-> E. y ( y e. Univ /\ x e. y ) )
3 exancom 
 |-  ( E. y ( y e. Univ /\ x e. y ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. Univ ) )
4 grumnueq 
 |-  Univ = { k | A. l e. k ( ~P l C_ k /\ A. m E. n e. k ( ~P l C_ n /\ A. p e. l ( E. q e. k ( p e. q /\ q e. m ) -> E. r e. m ( p e. r /\ U. r C_ n ) ) ) ) }
5 4 ismnu 
 |-  ( y e. _V -> ( y e. Univ <-> A. z e. y ( ~P z C_ y /\ A. f E. w e. y ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. y ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) ) )
6 5 elv 
 |-  ( y e. Univ <-> A. z e. y ( ~P z C_ y /\ A. f E. w e. y ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. y ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) )
7 6 anbi2i 
 |-  ( ( x e. y /\ y e. Univ ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ A. f E. w e. y ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. y ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) ) )
8 7 exbii 
 |-  ( E. y ( x e. y /\ y e. Univ ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ A. f E. w e. y ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. y ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) ) )
9 2 3 8 3bitri 
 |-  ( E. y e. Univ x e. y <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ A. f E. w e. y ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. y ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) ) )
10 1 9 mpbi 
 |-  E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ A. f E. w e. y ( ~P z C_ w /\ A. i e. z ( E. v e. y ( i e. v /\ v e. f ) -> E. u e. f ( i e. u /\ U. u C_ w ) ) ) ) )