Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rrnheibor.1 |
|- X = ( RR ^m I ) |
2 |
|
rrnheibor.2 |
|- M = ( ( Rn ` I ) |` ( Y X. Y ) ) |
3 |
|
rrnheibor.3 |
|- T = ( MetOpen ` M ) |
4 |
|
rrnheibor.4 |
|- U = ( MetOpen ` ( Rn ` I ) ) |
5 |
1
|
rrnmet |
|- ( I e. Fin -> ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) ) |
6 |
|
metres2 |
|- ( ( ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( ( Rn ` I ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( Met ` Y ) ) |
7 |
2 6
|
eqeltrid |
|- ( ( ( Rn ` I ) e. ( Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> M e. ( Met ` Y ) ) |
8 |
5 7
|
sylan |
|- ( ( I e. Fin /\ Y C_ X ) -> M e. ( Met ` Y ) ) |
9 |
8
|
biantrurd |
|- ( ( I e. Fin /\ Y C_ X ) -> ( T e. Comp <-> ( M e. ( Met ` Y ) /\ T e. Comp ) ) ) |
10 |
3
|
heibor |
|- ( ( M e. ( Met ` Y ) /\ T e. Comp ) <-> ( M e. ( CMet ` Y ) /\ M e. ( TotBnd ` Y ) ) ) |
11 |
9 10
|
bitrdi |
|- ( ( I e. Fin /\ Y C_ X ) -> ( T e. Comp <-> ( M e. ( CMet ` Y ) /\ M e. ( TotBnd ` Y ) ) ) ) |
12 |
2
|
eleq1i |
|- ( M e. ( CMet ` Y ) <-> ( ( Rn ` I ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) ) |
13 |
1
|
rrncms |
|- ( I e. Fin -> ( Rn ` I ) e. ( CMet ` X ) ) |
14 |
13
|
adantr |
|- ( ( I e. Fin /\ Y C_ X ) -> ( Rn ` I ) e. ( CMet ` X ) ) |
15 |
4
|
cmetss |
|- ( ( Rn ` I ) e. ( CMet ` X ) -> ( ( ( Rn ` I ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) <-> Y e. ( Clsd ` U ) ) ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( ( I e. Fin /\ Y C_ X ) -> ( ( ( Rn ` I ) |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) <-> Y e. ( Clsd ` U ) ) ) |
17 |
12 16
|
syl5bb |
|- ( ( I e. Fin /\ Y C_ X ) -> ( M e. ( CMet ` Y ) <-> Y e. ( Clsd ` U ) ) ) |
18 |
1 2
|
rrntotbnd |
|- ( I e. Fin -> ( M e. ( TotBnd ` Y ) <-> M e. ( Bnd ` Y ) ) ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( I e. Fin /\ Y C_ X ) -> ( M e. ( TotBnd ` Y ) <-> M e. ( Bnd ` Y ) ) ) |
20 |
17 19
|
anbi12d |
|- ( ( I e. Fin /\ Y C_ X ) -> ( ( M e. ( CMet ` Y ) /\ M e. ( TotBnd ` Y ) ) <-> ( Y e. ( Clsd ` U ) /\ M e. ( Bnd ` Y ) ) ) ) |
21 |
11 20
|
bitrd |
|- ( ( I e. Fin /\ Y C_ X ) -> ( T e. Comp <-> ( Y e. ( Clsd ` U ) /\ M e. ( Bnd ` Y ) ) ) ) |