Theorem slesubsubbd

Description: Equivalence for the surreal less-than or equal relationship between differences. (Contributed by Scott Fenton, 7-Mar-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	sltsubsubbd.1	|- ( ph -> A e. No )
	sltsubsubbd.2	|- ( ph -> B e. No )
	sltsubsubbd.3	|- ( ph -> C e. No )
	sltsubsubbd.4	|- ( ph -> D e. No )
Assertion	slesubsubbd	|- ( ph -> ( ( A -s C ) <_s ( B -s D ) <-> ( A -s B ) <_s ( C -s D ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsubsubbd.1	|- ( ph -> A e. No )
2		sltsubsubbd.2	|- ( ph -> B e. No )
3		sltsubsubbd.3	|- ( ph -> C e. No )
4		sltsubsubbd.4	|- ( ph -> D e. No )
5	2 1 4 3	sltsubsub3bd	|- ( ph -> ( ( B -s D ) ( C -s D )
6	5	notbid	|- ( ph -> ( -. ( B -s D ) -. ( C -s D )
7	1 3	subscld	|- ( ph -> ( A -s C ) e. No )
8	2 4	subscld	|- ( ph -> ( B -s D ) e. No )
9		slenlt	|- ( ( ( A -s C ) e. No /\ ( B -s D ) e. No ) -> ( ( A -s C ) <_s ( B -s D ) <-> -. ( B -s D )
10	7 8 9	syl2anc	|- ( ph -> ( ( A -s C ) <_s ( B -s D ) <-> -. ( B -s D )
11	1 2	subscld	|- ( ph -> ( A -s B ) e. No )
12	3 4	subscld	|- ( ph -> ( C -s D ) e. No )
13		slenlt	|- ( ( ( A -s B ) e. No /\ ( C -s D ) e. No ) -> ( ( A -s B ) <_s ( C -s D ) <-> -. ( C -s D )
14	11 12 13	syl2anc	|- ( ph -> ( ( A -s B ) <_s ( C -s D ) <-> -. ( C -s D )
15	6 10 14	3bitr4d	|- ( ph -> ( ( A -s C ) <_s ( B -s D ) <-> ( A -s B ) <_s ( C -s D ) ) )