Theorem smfpreimale

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of a closed interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. See Proposition 121B (ii) of Fremlin1 p. 35 (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	smfpreimale.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
	smfpreimale.f	|- ( ph -> F e. ( SMblFn ` S ) )
	smfpreimale.d	|- D = dom F
	smfpreimale.a	|- ( ph -> A e. RR )
Assertion	smfpreimale	|- ( ph -> { x e. D | ( F ` x ) <_ A } e. ( S |`t D ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfpreimale.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
2		smfpreimale.f	|- ( ph -> F e. ( SMblFn ` S ) )
3		smfpreimale.d	|- D = dom F
4		smfpreimale.a	|- ( ph -> A e. RR )
5	1 3	issmfle	|- ( ph -> ( F e. ( SMblFn ` S ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) ) ) )
6	2 5	mpbid	|- ( ph -> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) ) )
7	6	simp3d	|- ( ph -> A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) )
8		breq2	|- ( a = A -> ( ( F ` x ) <_ a <-> ( F ` x ) <_ A ) )
9	8	rabbidv	|- ( a = A -> { x e. D | ( F ` x ) <_ a } = { x e. D | ( F ` x ) <_ A } )
10	9	eleq1d	|- ( a = A -> ( { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) <-> { x e. D | ( F ` x ) <_ A } e. ( S |`t D ) ) )
11	10	rspcva	|- ( ( A e. RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) ) -> { x e. D | ( F ` x ) <_ A } e. ( S |`t D ) )
12	4 7 11	syl2anc	|- ( ph -> { x e. D | ( F ` x ) <_ A } e. ( S |`t D ) )