Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
issmfle.s |
|- ( ph -> S e. SAlg ) |
2 |
|
issmfle.d |
|- D = dom F |
3 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) -> S e. SAlg ) |
4 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) -> F e. ( SMblFn ` S ) ) |
5 |
3 4 2
|
smfdmss |
|- ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) -> D C_ U. S ) |
6 |
3 4 2
|
smff |
|- ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) -> F : D --> RR ) |
7 |
|
nfv |
|- F/ b ph |
8 |
|
nfv |
|- F/ b F e. ( SMblFn ` S ) |
9 |
7 8
|
nfan |
|- F/ b ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) |
10 |
|
nfv |
|- F/ y ph |
11 |
|
nfv |
|- F/ y F e. ( SMblFn ` S ) |
12 |
10 11
|
nfan |
|- F/ y ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) |
13 |
|
nfv |
|- F/ y b e. RR |
14 |
12 13
|
nfan |
|- F/ y ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) |
15 |
|
nfv |
|- F/ c ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) |
16 |
1
|
uniexd |
|- ( ph -> U. S e. _V ) |
17 |
16
|
adantr |
|- ( ( ph /\ D C_ U. S ) -> U. S e. _V ) |
18 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ D C_ U. S ) -> D C_ U. S ) |
19 |
17 18
|
ssexd |
|- ( ( ph /\ D C_ U. S ) -> D e. _V ) |
20 |
5 19
|
syldan |
|- ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) -> D e. _V ) |
21 |
|
eqid |
|- ( S |`t D ) = ( S |`t D ) |
22 |
3 20 21
|
subsalsal |
|- ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) -> ( S |`t D ) e. SAlg ) |
23 |
22
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) -> ( S |`t D ) e. SAlg ) |
24 |
6
|
frexr |
|- ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) -> F : D --> RR* ) |
25 |
24
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) -> F : D --> RR* ) |
26 |
25
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) /\ y e. D ) -> ( F ` y ) e. RR* ) |
27 |
3
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) /\ c e. RR ) -> S e. SAlg ) |
28 |
4
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) /\ c e. RR ) -> F e. ( SMblFn ` S ) ) |
29 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) /\ c e. RR ) -> c e. RR ) |
30 |
27 28 2 29
|
smfpreimalt |
|- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) /\ c e. RR ) -> { y e. D | ( F ` y ) < c } e. ( S |`t D ) ) |
31 |
30
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) /\ c e. RR ) -> { y e. D | ( F ` y ) < c } e. ( S |`t D ) ) |
32 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) -> b e. RR ) |
33 |
14 15 23 26 31 32
|
salpreimaltle |
|- ( ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) /\ b e. RR ) -> { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) |
34 |
33
|
ex |
|- ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) -> ( b e. RR -> { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) ) |
35 |
9 34
|
ralrimi |
|- ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) -> A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) |
36 |
5 6 35
|
3jca |
|- ( ( ph /\ F e. ( SMblFn ` S ) ) -> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) ) |
37 |
36
|
ex |
|- ( ph -> ( F e. ( SMblFn ` S ) -> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) ) ) |
38 |
|
nfv |
|- F/ y D C_ U. S |
39 |
|
nfv |
|- F/ y F : D --> RR |
40 |
|
nfcv |
|- F/_ y RR |
41 |
|
nfrab1 |
|- F/_ y { y e. D | ( F ` y ) <_ b } |
42 |
|
nfcv |
|- F/_ y ( S |`t D ) |
43 |
41 42
|
nfel |
|- F/ y { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) |
44 |
40 43
|
nfralw |
|- F/ y A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) |
45 |
38 39 44
|
nf3an |
|- F/ y ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) |
46 |
10 45
|
nfan |
|- F/ y ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) ) |
47 |
|
nfv |
|- F/ b D C_ U. S |
48 |
|
nfv |
|- F/ b F : D --> RR |
49 |
|
nfra1 |
|- F/ b A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) |
50 |
47 48 49
|
nf3an |
|- F/ b ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) |
51 |
7 50
|
nfan |
|- F/ b ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) ) |
52 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) ) -> S e. SAlg ) |
53 |
|
simpr1 |
|- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) ) -> D C_ U. S ) |
54 |
|
simpr2 |
|- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) ) -> F : D --> RR ) |
55 |
|
rspa |
|- ( ( A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) /\ b e. RR ) -> { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) |
56 |
55
|
3ad2antl3 |
|- ( ( ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) /\ b e. RR ) -> { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) |
57 |
56
|
adantll |
|- ( ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) ) /\ b e. RR ) -> { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) |
58 |
46 51 52 2 53 54 57
|
issmflelem |
|- ( ( ph /\ ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) ) -> F e. ( SMblFn ` S ) ) |
59 |
58
|
ex |
|- ( ph -> ( ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) -> F e. ( SMblFn ` S ) ) ) |
60 |
37 59
|
impbid |
|- ( ph -> ( F e. ( SMblFn ` S ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) ) ) |
61 |
|
breq2 |
|- ( b = a -> ( ( F ` y ) <_ b <-> ( F ` y ) <_ a ) ) |
62 |
61
|
rabbidv |
|- ( b = a -> { y e. D | ( F ` y ) <_ b } = { y e. D | ( F ` y ) <_ a } ) |
63 |
|
fveq2 |
|- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) ) |
64 |
63
|
breq1d |
|- ( y = x -> ( ( F ` y ) <_ a <-> ( F ` x ) <_ a ) ) |
65 |
64
|
cbvrabv |
|- { y e. D | ( F ` y ) <_ a } = { x e. D | ( F ` x ) <_ a } |
66 |
65
|
a1i |
|- ( b = a -> { y e. D | ( F ` y ) <_ a } = { x e. D | ( F ` x ) <_ a } ) |
67 |
62 66
|
eqtrd |
|- ( b = a -> { y e. D | ( F ` y ) <_ b } = { x e. D | ( F ` x ) <_ a } ) |
68 |
67
|
eleq1d |
|- ( b = a -> ( { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) <-> { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) ) ) |
69 |
68
|
cbvralvw |
|- ( A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) <-> A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) ) |
70 |
69
|
3anbi3i |
|- ( ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) ) ) |
71 |
70
|
a1i |
|- ( ph -> ( ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. b e. RR { y e. D | ( F ` y ) <_ b } e. ( S |`t D ) ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) ) ) ) |
72 |
60 71
|
bitrd |
|- ( ph -> ( F e. ( SMblFn ` S ) <-> ( D C_ U. S /\ F : D --> RR /\ A. a e. RR { x e. D | ( F ` x ) <_ a } e. ( S |`t D ) ) ) ) |