Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sqrlem1.1 |
|- S = { x e. RR+ | ( x ^ 2 ) <_ A } |
2 |
|
sqrlem1.2 |
|- B = sup ( S , RR , < ) |
3 |
|
sqrlem5.3 |
|- T = { y | E. a e. S E. b e. S y = ( a x. b ) } |
4 |
1
|
ssrab3 |
|- S C_ RR+ |
5 |
4
|
sseli |
|- ( v e. S -> v e. RR+ ) |
6 |
5
|
rpge0d |
|- ( v e. S -> 0 <_ v ) |
7 |
6
|
rgen |
|- A. v e. S 0 <_ v |
8 |
1 2
|
sqrlem3 |
|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. v e. RR A. z e. S z <_ v ) ) |
9 |
|
pm4.24 |
|- ( A. v e. S 0 <_ v <-> ( A. v e. S 0 <_ v /\ A. v e. S 0 <_ v ) ) |
10 |
9
|
3anbi1i |
|- ( ( A. v e. S 0 <_ v /\ ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. v e. RR A. z e. S z <_ v ) /\ ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. v e. RR A. z e. S z <_ v ) ) <-> ( ( A. v e. S 0 <_ v /\ A. v e. S 0 <_ v ) /\ ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. v e. RR A. z e. S z <_ v ) /\ ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. v e. RR A. z e. S z <_ v ) ) ) |
11 |
3 10
|
supmullem2 |
|- ( ( A. v e. S 0 <_ v /\ ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. v e. RR A. z e. S z <_ v ) /\ ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. v e. RR A. z e. S z <_ v ) ) -> ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. v e. RR A. u e. T u <_ v ) ) |
12 |
7 8 8 11
|
mp3an2i |
|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. v e. RR A. u e. T u <_ v ) ) |
13 |
1 2
|
sqrlem4 |
|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B e. RR+ /\ B <_ 1 ) ) |
14 |
|
rpre |
|- ( B e. RR+ -> B e. RR ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( B e. RR+ /\ B <_ 1 ) -> B e. RR ) |
16 |
13 15
|
syl |
|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> B e. RR ) |
17 |
16
|
recnd |
|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> B e. CC ) |
18 |
17
|
sqvald |
|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) = ( B x. B ) ) |
19 |
2 2
|
oveq12i |
|- ( B x. B ) = ( sup ( S , RR , < ) x. sup ( S , RR , < ) ) |
20 |
3 10
|
supmul |
|- ( ( A. v e. S 0 <_ v /\ ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. v e. RR A. z e. S z <_ v ) /\ ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. v e. RR A. z e. S z <_ v ) ) -> ( sup ( S , RR , < ) x. sup ( S , RR , < ) ) = sup ( T , RR , < ) ) |
21 |
7 8 8 20
|
mp3an2i |
|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( sup ( S , RR , < ) x. sup ( S , RR , < ) ) = sup ( T , RR , < ) ) |
22 |
19 21
|
eqtrid |
|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B x. B ) = sup ( T , RR , < ) ) |
23 |
18 22
|
eqtrd |
|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) = sup ( T , RR , < ) ) |
24 |
12 23
|
jca |
|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. v e. RR A. u e. T u <_ v ) /\ ( B ^ 2 ) = sup ( T , RR , < ) ) ) |