Theorem ssfin3ds

Description: A subset of a III-finite set is III-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Nov-2014)

	Ref	Expression
Hypothesis	isfin3ds.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m _om ) ( A. b e. _om ( a ` suc b ) C_ ( a ` b ) -> |^| ran a e. ran a ) }
Assertion	ssfin3ds	|- ( ( A e. F /\ B C_ A ) -> B e. F )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin3ds.f	|- F = { g | A. a e. ( ~P g ^m _om ) ( A. b e. _om ( a ` suc b ) C_ ( a ` b ) -> |^| ran a e. ran a ) }
2		pwexg	|- ( A e. F -> ~P A e. _V )
3		simpr	|- ( ( A e. F /\ B C_ A ) -> B C_ A )
4	3	sspwd	|- ( ( A e. F /\ B C_ A ) -> ~P B C_ ~P A )
5		mapss	|- ( ( ~P A e. _V /\ ~P B C_ ~P A ) -> ( ~P B ^m _om ) C_ ( ~P A ^m _om ) )
6	2 4 5	syl2an2r	|- ( ( A e. F /\ B C_ A ) -> ( ~P B ^m _om ) C_ ( ~P A ^m _om ) )
7	1	isfin3ds	|- ( A e. F -> ( A e. F <-> A. f e. ( ~P A ^m _om ) ( A. x e. _om ( f ` suc x ) C_ ( f ` x ) -> |^| ran f e. ran f ) ) )
8	7	ibi	|- ( A e. F -> A. f e. ( ~P A ^m _om ) ( A. x e. _om ( f ` suc x ) C_ ( f ` x ) -> |^| ran f e. ran f ) )
9	8	adantr	|- ( ( A e. F /\ B C_ A ) -> A. f e. ( ~P A ^m _om ) ( A. x e. _om ( f ` suc x ) C_ ( f ` x ) -> |^| ran f e. ran f ) )
10		ssralv	|- ( ( ~P B ^m _om ) C_ ( ~P A ^m _om ) -> ( A. f e. ( ~P A ^m _om ) ( A. x e. _om ( f ` suc x ) C_ ( f ` x ) -> |^| ran f e. ran f ) -> A. f e. ( ~P B ^m _om ) ( A. x e. _om ( f ` suc x ) C_ ( f ` x ) -> |^| ran f e. ran f ) ) )
11	6 9 10	sylc	|- ( ( A e. F /\ B C_ A ) -> A. f e. ( ~P B ^m _om ) ( A. x e. _om ( f ` suc x ) C_ ( f ` x ) -> |^| ran f e. ran f ) )
12		ssexg	|- ( ( B C_ A /\ A e. F ) -> B e. _V )
13	12	ancoms	|- ( ( A e. F /\ B C_ A ) -> B e. _V )
14	1	isfin3ds	|- ( B e. _V -> ( B e. F <-> A. f e. ( ~P B ^m _om ) ( A. x e. _om ( f ` suc x ) C_ ( f ` x ) -> |^| ran f e. ran f ) ) )
15	13 14	syl	|- ( ( A e. F /\ B C_ A ) -> ( B e. F <-> A. f e. ( ~P B ^m _om ) ( A. x e. _om ( f ` suc x ) C_ ( f ` x ) -> |^| ran f e. ran f ) ) )
16	11 15	mpbird	|- ( ( A e. F /\ B C_ A ) -> B e. F )