Theorem sspadd1

Description: A projective subspace sum is a superset of its first summand. ( ssun1 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	padd0.a	|- A = ( Atoms ` K )
	padd0.p	|- .+ = ( +P ` K )
Assertion	sspadd1	|- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> X C_ ( X .+ Y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		padd0.a	|- A = ( Atoms ` K )
2		padd0.p	|- .+ = ( +P ` K )
3		ssun1	|- X C_ ( X u. Y )
4		ssun1	|- ( X u. Y ) C_ ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } )
5	3 4	sstri	|- X C_ ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } )
6		eqid	|- ( le ` K ) = ( le ` K )
7		eqid	|- ( join ` K ) = ( join ` K )
8	6 7 1 2	paddval	|- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> ( X .+ Y ) = ( ( X u. Y ) u. { p e. A | E. q e. X E. r e. Y p ( le ` K ) ( q ( join ` K ) r ) } ) )
9	5 8	sseqtrrid	|- ( ( K e. B /\ X C_ A /\ Y C_ A ) -> X C_ ( X .+ Y ) )