Theorem ssrabf

Description: Subclass of a restricted class abstraction. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	ssrabf.1	|- F/_ x B
	ssrabf.2	|- F/_ x A
Assertion	ssrabf	|- ( B C_ { x e. A | ph } <-> ( B C_ A /\ A. x e. B ph ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrabf.1	|- F/_ x B
2		ssrabf.2	|- F/_ x A
3		df-rab	|- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) }
4	3	sseq2i	|- ( B C_ { x e. A | ph } <-> B C_ { x | ( x e. A /\ ph ) } )
5	1	ssabf	|- ( B C_ { x | ( x e. A /\ ph ) } <-> A. x ( x e. B -> ( x e. A /\ ph ) ) )
6	1 2	dfss3f	|- ( B C_ A <-> A. x e. B x e. A )
7	6	anbi1i	|- ( ( B C_ A /\ A. x e. B ph ) <-> ( A. x e. B x e. A /\ A. x e. B ph ) )
8		r19.26	|- ( A. x e. B ( x e. A /\ ph ) <-> ( A. x e. B x e. A /\ A. x e. B ph ) )
9		df-ral	|- ( A. x e. B ( x e. A /\ ph ) <-> A. x ( x e. B -> ( x e. A /\ ph ) ) )
10	7 8 9	3bitr2ri	|- ( A. x ( x e. B -> ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( B C_ A /\ A. x e. B ph ) )
11	4 5 10	3bitri	|- ( B C_ { x e. A | ph } <-> ( B C_ A /\ A. x e. B ph ) )