Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simprlr |
|- ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) -> Fun F ) |
2 |
|
simprll |
|- ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) -> F e. U ) |
3 |
|
simpl |
|- ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) -> Z e. _V ) |
4 |
|
funisfsupp |
|- ( ( Fun F /\ F e. U /\ Z e. _V ) -> ( F finSupp Z <-> ( F supp Z ) e. Fin ) ) |
5 |
1 2 3 4
|
syl3anc |
|- ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) -> ( F finSupp Z <-> ( F supp Z ) e. Fin ) ) |
6 |
5
|
adantr |
|- ( ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) /\ ( F supp Z ) = ( G supp Z ) ) -> ( F finSupp Z <-> ( F supp Z ) e. Fin ) ) |
7 |
|
simpr |
|- ( ( G e. V /\ Fun G ) -> Fun G ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ Z e. _V ) -> Fun G ) |
9 |
|
simpl |
|- ( ( G e. V /\ Fun G ) -> G e. V ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ Z e. _V ) -> G e. V ) |
11 |
|
simpr |
|- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ Z e. _V ) -> Z e. _V ) |
12 |
|
funisfsupp |
|- ( ( Fun G /\ G e. V /\ Z e. _V ) -> ( G finSupp Z <-> ( G supp Z ) e. Fin ) ) |
13 |
8 10 11 12
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. V /\ Fun G ) /\ Z e. _V ) -> ( G finSupp Z <-> ( G supp Z ) e. Fin ) ) |
14 |
13
|
ex |
|- ( ( G e. V /\ Fun G ) -> ( Z e. _V -> ( G finSupp Z <-> ( G supp Z ) e. Fin ) ) ) |
15 |
14
|
adantl |
|- ( ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) -> ( Z e. _V -> ( G finSupp Z <-> ( G supp Z ) e. Fin ) ) ) |
16 |
15
|
impcom |
|- ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) -> ( G finSupp Z <-> ( G supp Z ) e. Fin ) ) |
17 |
|
eleq1 |
|- ( ( F supp Z ) = ( G supp Z ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin <-> ( G supp Z ) e. Fin ) ) |
18 |
17
|
bicomd |
|- ( ( F supp Z ) = ( G supp Z ) -> ( ( G supp Z ) e. Fin <-> ( F supp Z ) e. Fin ) ) |
19 |
16 18
|
sylan9bb |
|- ( ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) /\ ( F supp Z ) = ( G supp Z ) ) -> ( G finSupp Z <-> ( F supp Z ) e. Fin ) ) |
20 |
6 19
|
bitr4d |
|- ( ( ( Z e. _V /\ ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) ) /\ ( F supp Z ) = ( G supp Z ) ) -> ( F finSupp Z <-> G finSupp Z ) ) |
21 |
20
|
exp31 |
|- ( Z e. _V -> ( ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) -> ( ( F supp Z ) = ( G supp Z ) -> ( F finSupp Z <-> G finSupp Z ) ) ) ) |
22 |
|
relfsupp |
|- Rel finSupp |
23 |
22
|
brrelex2i |
|- ( F finSupp Z -> Z e. _V ) |
24 |
22
|
brrelex2i |
|- ( G finSupp Z -> Z e. _V ) |
25 |
23 24
|
pm5.21ni |
|- ( -. Z e. _V -> ( F finSupp Z <-> G finSupp Z ) ) |
26 |
25
|
2a1d |
|- ( -. Z e. _V -> ( ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) -> ( ( F supp Z ) = ( G supp Z ) -> ( F finSupp Z <-> G finSupp Z ) ) ) ) |
27 |
21 26
|
pm2.61i |
|- ( ( ( F e. U /\ Fun F ) /\ ( G e. V /\ Fun G ) ) -> ( ( F supp Z ) = ( G supp Z ) -> ( F finSupp Z <-> G finSupp Z ) ) ) |