Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tfinds2.1 |
|- ( x = (/) -> ( ph <-> ps ) ) |
2 |
|
tfinds2.2 |
|- ( x = y -> ( ph <-> ch ) ) |
3 |
|
tfinds2.3 |
|- ( x = suc y -> ( ph <-> th ) ) |
4 |
|
tfinds2.4 |
|- ( ta -> ps ) |
5 |
|
tfinds2.5 |
|- ( y e. On -> ( ta -> ( ch -> th ) ) ) |
6 |
|
tfinds2.6 |
|- ( Lim x -> ( ta -> ( A. y e. x ch -> ph ) ) ) |
7 |
|
0ex |
|- (/) e. _V |
8 |
1
|
imbi2d |
|- ( x = (/) -> ( ( ta -> ph ) <-> ( ta -> ps ) ) ) |
9 |
7 8
|
sbcie |
|- ( [. (/) / x ]. ( ta -> ph ) <-> ( ta -> ps ) ) |
10 |
4 9
|
mpbir |
|- [. (/) / x ]. ( ta -> ph ) |
11 |
5
|
a2d |
|- ( y e. On -> ( ( ta -> ch ) -> ( ta -> th ) ) ) |
12 |
11
|
sbcth |
|- ( x e. _V -> [. x / y ]. ( y e. On -> ( ( ta -> ch ) -> ( ta -> th ) ) ) ) |
13 |
12
|
elv |
|- [. x / y ]. ( y e. On -> ( ( ta -> ch ) -> ( ta -> th ) ) ) |
14 |
|
sbcimg |
|- ( x e. _V -> ( [. x / y ]. ( y e. On -> ( ( ta -> ch ) -> ( ta -> th ) ) ) <-> ( [. x / y ]. y e. On -> [. x / y ]. ( ( ta -> ch ) -> ( ta -> th ) ) ) ) ) |
15 |
14
|
elv |
|- ( [. x / y ]. ( y e. On -> ( ( ta -> ch ) -> ( ta -> th ) ) ) <-> ( [. x / y ]. y e. On -> [. x / y ]. ( ( ta -> ch ) -> ( ta -> th ) ) ) ) |
16 |
13 15
|
mpbi |
|- ( [. x / y ]. y e. On -> [. x / y ]. ( ( ta -> ch ) -> ( ta -> th ) ) ) |
17 |
|
sbcel1v |
|- ( [. x / y ]. y e. On <-> x e. On ) |
18 |
|
sbcimg |
|- ( x e. _V -> ( [. x / y ]. ( ( ta -> ch ) -> ( ta -> th ) ) <-> ( [. x / y ]. ( ta -> ch ) -> [. x / y ]. ( ta -> th ) ) ) ) |
19 |
18
|
elv |
|- ( [. x / y ]. ( ( ta -> ch ) -> ( ta -> th ) ) <-> ( [. x / y ]. ( ta -> ch ) -> [. x / y ]. ( ta -> th ) ) ) |
20 |
16 17 19
|
3imtr3i |
|- ( x e. On -> ( [. x / y ]. ( ta -> ch ) -> [. x / y ]. ( ta -> th ) ) ) |
21 |
|
vex |
|- x e. _V |
22 |
2
|
bicomd |
|- ( x = y -> ( ch <-> ph ) ) |
23 |
22
|
equcoms |
|- ( y = x -> ( ch <-> ph ) ) |
24 |
23
|
imbi2d |
|- ( y = x -> ( ( ta -> ch ) <-> ( ta -> ph ) ) ) |
25 |
21 24
|
sbcie |
|- ( [. x / y ]. ( ta -> ch ) <-> ( ta -> ph ) ) |
26 |
|
vex |
|- y e. _V |
27 |
26
|
sucex |
|- suc y e. _V |
28 |
3
|
imbi2d |
|- ( x = suc y -> ( ( ta -> ph ) <-> ( ta -> th ) ) ) |
29 |
27 28
|
sbcie |
|- ( [. suc y / x ]. ( ta -> ph ) <-> ( ta -> th ) ) |
30 |
29
|
sbcbii |
|- ( [. x / y ]. [. suc y / x ]. ( ta -> ph ) <-> [. x / y ]. ( ta -> th ) ) |
31 |
|
suceq |
|- ( x = y -> suc x = suc y ) |
32 |
31
|
sbcco2 |
|- ( [. x / y ]. [. suc y / x ]. ( ta -> ph ) <-> [. suc x / x ]. ( ta -> ph ) ) |
33 |
30 32
|
bitr3i |
|- ( [. x / y ]. ( ta -> th ) <-> [. suc x / x ]. ( ta -> ph ) ) |
34 |
20 25 33
|
3imtr3g |
|- ( x e. On -> ( ( ta -> ph ) -> [. suc x / x ]. ( ta -> ph ) ) ) |
35 |
2
|
imbi2d |
|- ( x = y -> ( ( ta -> ph ) <-> ( ta -> ch ) ) ) |
36 |
35
|
sbralie |
|- ( A. x e. y ( ta -> ph ) <-> [ y / x ] A. y e. x ( ta -> ch ) ) |
37 |
|
sbsbc |
|- ( [ y / x ] A. y e. x ( ta -> ch ) <-> [. y / x ]. A. y e. x ( ta -> ch ) ) |
38 |
36 37
|
bitr2i |
|- ( [. y / x ]. A. y e. x ( ta -> ch ) <-> A. x e. y ( ta -> ph ) ) |
39 |
|
r19.21v |
|- ( A. y e. x ( ta -> ch ) <-> ( ta -> A. y e. x ch ) ) |
40 |
6
|
a2d |
|- ( Lim x -> ( ( ta -> A. y e. x ch ) -> ( ta -> ph ) ) ) |
41 |
39 40
|
syl5bi |
|- ( Lim x -> ( A. y e. x ( ta -> ch ) -> ( ta -> ph ) ) ) |
42 |
41
|
sbcth |
|- ( y e. _V -> [. y / x ]. ( Lim x -> ( A. y e. x ( ta -> ch ) -> ( ta -> ph ) ) ) ) |
43 |
42
|
elv |
|- [. y / x ]. ( Lim x -> ( A. y e. x ( ta -> ch ) -> ( ta -> ph ) ) ) |
44 |
|
sbcimg |
|- ( y e. _V -> ( [. y / x ]. ( Lim x -> ( A. y e. x ( ta -> ch ) -> ( ta -> ph ) ) ) <-> ( [. y / x ]. Lim x -> [. y / x ]. ( A. y e. x ( ta -> ch ) -> ( ta -> ph ) ) ) ) ) |
45 |
44
|
elv |
|- ( [. y / x ]. ( Lim x -> ( A. y e. x ( ta -> ch ) -> ( ta -> ph ) ) ) <-> ( [. y / x ]. Lim x -> [. y / x ]. ( A. y e. x ( ta -> ch ) -> ( ta -> ph ) ) ) ) |
46 |
43 45
|
mpbi |
|- ( [. y / x ]. Lim x -> [. y / x ]. ( A. y e. x ( ta -> ch ) -> ( ta -> ph ) ) ) |
47 |
|
limeq |
|- ( x = y -> ( Lim x <-> Lim y ) ) |
48 |
26 47
|
sbcie |
|- ( [. y / x ]. Lim x <-> Lim y ) |
49 |
|
sbcimg |
|- ( y e. _V -> ( [. y / x ]. ( A. y e. x ( ta -> ch ) -> ( ta -> ph ) ) <-> ( [. y / x ]. A. y e. x ( ta -> ch ) -> [. y / x ]. ( ta -> ph ) ) ) ) |
50 |
49
|
elv |
|- ( [. y / x ]. ( A. y e. x ( ta -> ch ) -> ( ta -> ph ) ) <-> ( [. y / x ]. A. y e. x ( ta -> ch ) -> [. y / x ]. ( ta -> ph ) ) ) |
51 |
46 48 50
|
3imtr3i |
|- ( Lim y -> ( [. y / x ]. A. y e. x ( ta -> ch ) -> [. y / x ]. ( ta -> ph ) ) ) |
52 |
38 51
|
syl5bir |
|- ( Lim y -> ( A. x e. y ( ta -> ph ) -> [. y / x ]. ( ta -> ph ) ) ) |
53 |
10 34 52
|
tfindes |
|- ( x e. On -> ( ta -> ph ) ) |