Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ssrin |
|- ( B C_ C -> ( B i^i ~P x ) C_ ( C i^i ~P x ) ) |
2 |
1
|
unissd |
|- ( B C_ C -> U. ( B i^i ~P x ) C_ U. ( C i^i ~P x ) ) |
3 |
|
sstr2 |
|- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> ( U. ( B i^i ~P x ) C_ U. ( C i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) ) |
4 |
2 3
|
syl5com |
|- ( B C_ C -> ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) ) |
5 |
4
|
adantl |
|- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) -> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) ) |
6 |
|
ssexg |
|- ( ( B C_ C /\ C e. V ) -> B e. _V ) |
7 |
6
|
ancoms |
|- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> B e. _V ) |
8 |
|
eltg |
|- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x C_ U. ( B i^i ~P x ) ) ) |
10 |
|
eltg |
|- ( C e. V -> ( x e. ( topGen ` C ) <-> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` C ) <-> x C_ U. ( C i^i ~P x ) ) ) |
12 |
5 9 11
|
3imtr4d |
|- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( x e. ( topGen ` B ) -> x e. ( topGen ` C ) ) ) |
13 |
12
|
ssrdv |
|- ( ( C e. V /\ B C_ C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) |