Theorem undi

Description: Distributive law for union over intersection. Exercise 11 of TakeutiZaring p. 17. (Contributed by NM, 30-Sep-2002) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011)

	Ref	Expression
Assertion	undi	|- ( A u. ( B i^i C ) ) = ( ( A u. B ) i^i ( A u. C ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin	|- ( x e. ( B i^i C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) )
2	1	orbi2i	|- ( ( x e. A \/ x e. ( B i^i C ) ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B /\ x e. C ) ) )
3		ordi	|- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ x e. C ) ) )
4		elin	|- ( x e. ( ( A u. B ) i^i ( A u. C ) ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ x e. ( A u. C ) ) )
5		elun	|- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
6		elun	|- ( x e. ( A u. C ) <-> ( x e. A \/ x e. C ) )
7	5 6	anbi12i	|- ( ( x e. ( A u. B ) /\ x e. ( A u. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ x e. C ) ) )
8	4 7	bitr2i	|- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ x e. C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) i^i ( A u. C ) ) )
9	2 3 8	3bitri	|- ( ( x e. A \/ x e. ( B i^i C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) i^i ( A u. C ) ) )
10	9	uneqri	|- ( A u. ( B i^i C ) ) = ( ( A u. B ) i^i ( A u. C ) )