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Theorem wl-sbhbt

Description: Closed form of sbhb . Characterizing the expression ph -> A. x ph using a substitution expression. (Contributed by Wolf Lammen, 28-Jul-2019)

Ref Expression
Assertion wl-sbhbt
|- ( A. x F/ y ph -> ( ( ph -> A. x ph ) <-> A. y ( ph -> [ y / x ] ph ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 wl-sb8t
 |-  ( A. x F/ y ph -> ( A. x ph <-> A. y [ y / x ] ph ) )
2 1 imbi2d
 |-  ( A. x F/ y ph -> ( ( ph -> A. x ph ) <-> ( ph -> A. y [ y / x ] ph ) ) )
3 19.21t
 |-  ( F/ y ph -> ( A. y ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> ( ph -> A. y [ y / x ] ph ) ) )
4 3 sps
 |-  ( A. x F/ y ph -> ( A. y ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> ( ph -> A. y [ y / x ] ph ) ) )
5 2 4 bitr4d
 |-  ( A. x F/ y ph -> ( ( ph -> A. x ph ) <-> A. y ( ph -> [ y / x ] ph ) ) )