Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xmetrtri2.1 |
|- K = ( dist ` RR*s ) |
2 |
|
xmetcl |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A D C ) e. RR* ) |
3 |
2
|
3adant3r2 |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D C ) e. RR* ) |
4 |
|
xmetcl |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( B D C ) e. RR* ) |
5 |
4
|
3adant3r1 |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B D C ) e. RR* ) |
6 |
1
|
xrsdsval |
|- ( ( ( A D C ) e. RR* /\ ( B D C ) e. RR* ) -> ( ( A D C ) K ( B D C ) ) = if ( ( A D C ) <_ ( B D C ) , ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) , ( ( A D C ) +e -e ( B D C ) ) ) ) |
7 |
3 5 6
|
syl2anc |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D C ) K ( B D C ) ) = if ( ( A D C ) <_ ( B D C ) , ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) , ( ( A D C ) +e -e ( B D C ) ) ) ) |
8 |
|
3ancoma |
|- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) <-> ( B e. X /\ A e. X /\ C e. X ) ) |
9 |
|
xmetrtri |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( B e. X /\ A e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) <_ ( B D A ) ) |
10 |
8 9
|
sylan2b |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) <_ ( B D A ) ) |
11 |
|
xmetsym |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( B D A ) ) |
12 |
11
|
3adant3r3 |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) = ( B D A ) ) |
13 |
10 12
|
breqtrrd |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) <_ ( A D B ) ) |
14 |
|
xmetrtri |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D C ) +e -e ( B D C ) ) <_ ( A D B ) ) |
15 |
|
breq1 |
|- ( ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) = if ( ( A D C ) <_ ( B D C ) , ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) , ( ( A D C ) +e -e ( B D C ) ) ) -> ( ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) <_ ( A D B ) <-> if ( ( A D C ) <_ ( B D C ) , ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) , ( ( A D C ) +e -e ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) ) ) |
16 |
|
breq1 |
|- ( ( ( A D C ) +e -e ( B D C ) ) = if ( ( A D C ) <_ ( B D C ) , ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) , ( ( A D C ) +e -e ( B D C ) ) ) -> ( ( ( A D C ) +e -e ( B D C ) ) <_ ( A D B ) <-> if ( ( A D C ) <_ ( B D C ) , ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) , ( ( A D C ) +e -e ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) ) ) |
17 |
15 16
|
ifboth |
|- ( ( ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) <_ ( A D B ) /\ ( ( A D C ) +e -e ( B D C ) ) <_ ( A D B ) ) -> if ( ( A D C ) <_ ( B D C ) , ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) , ( ( A D C ) +e -e ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) ) |
18 |
13 14 17
|
syl2anc |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> if ( ( A D C ) <_ ( B D C ) , ( ( B D C ) +e -e ( A D C ) ) , ( ( A D C ) +e -e ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) ) |
19 |
7 18
|
eqbrtrd |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D C ) K ( B D C ) ) <_ ( A D B ) ) |