Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xmetrtri2.1 |
⊢ 𝐾 = ( dist ‘ ℝ*𝑠 ) |
2 |
|
xmetcl |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
3 |
2
|
3adant3r2 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
4 |
|
xmetcl |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
5 |
4
|
3adant3r1 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ∈ ℝ* ) |
6 |
1
|
xrsdsval |
⊢ ( ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) 𝐾 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) = if ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) , ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) , ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ) ) |
7 |
3 5 6
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) 𝐾 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) = if ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) , ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) , ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ) ) |
8 |
|
3ancoma |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ↔ ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) |
9 |
|
xmetrtri |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) ≤ ( 𝐵 𝐷 𝐴 ) ) |
10 |
8 9
|
sylan2b |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) ≤ ( 𝐵 𝐷 𝐴 ) ) |
11 |
|
xmetsym |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) = ( 𝐵 𝐷 𝐴 ) ) |
12 |
11
|
3adant3r3 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) = ( 𝐵 𝐷 𝐴 ) ) |
13 |
10 12
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ) |
14 |
|
xmetrtri |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ) |
15 |
|
breq1 |
⊢ ( ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) = if ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) , ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) , ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ↔ if ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) , ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) , ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ) ) |
16 |
|
breq1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) = if ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) , ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) , ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ↔ if ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) , ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) , ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ) ) |
17 |
15 16
|
ifboth |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ∧ ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ) → if ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) , ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) , ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ) |
18 |
13 14 17
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → if ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ≤ ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) , ( ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) ) , ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) +𝑒 -𝑒 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ) |
19 |
7 18
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝐴 𝐷 𝐶 ) 𝐾 ( 𝐵 𝐷 𝐶 ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ) |