Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xrmin1 |
|- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ B ) |
2 |
1
|
3adant1 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ B ) |
3 |
|
simp1 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* ) |
4 |
|
ifcl |
|- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) e. RR* ) |
5 |
4
|
3adant1 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) e. RR* ) |
6 |
|
simp2 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B e. RR* ) |
7 |
|
xrletr |
|- ( ( A e. RR* /\ if ( B <_ C , B , C ) e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ B ) -> A <_ B ) ) |
8 |
3 5 6 7
|
syl3anc |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ B ) -> A <_ B ) ) |
9 |
2 8
|
mpan2d |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> A <_ B ) ) |
10 |
|
xrmin2 |
|- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ C ) |
11 |
10
|
3adant1 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> if ( B <_ C , B , C ) <_ C ) |
12 |
|
xrletr |
|- ( ( A e. RR* /\ if ( B <_ C , B , C ) e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ C ) -> A <_ C ) ) |
13 |
5 12
|
syld3an2 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) /\ if ( B <_ C , B , C ) <_ C ) -> A <_ C ) ) |
14 |
11 13
|
mpan2d |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> A <_ C ) ) |
15 |
9 14
|
jcad |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) ) |
16 |
|
breq2 |
|- ( B = if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ B <-> A <_ if ( B <_ C , B , C ) ) ) |
17 |
|
breq2 |
|- ( C = if ( B <_ C , B , C ) -> ( A <_ C <-> A <_ if ( B <_ C , B , C ) ) ) |
18 |
16 17
|
ifboth |
|- ( ( A <_ B /\ A <_ C ) -> A <_ if ( B <_ C , B , C ) ) |
19 |
15 18
|
impbid1 |
|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A <_ if ( B <_ C , B , C ) <-> ( A <_ B /\ A <_ C ) ) ) |