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Theorem zfinf2

Description: A standard version of the Axiom of Infinity, using definitions to abbreviate. Axiom Inf of BellMachover p. 472. (See ax-inf2 for the unabbreviated version.) (Contributed by NM, 30-Aug-1993)

Ref Expression
Assertion zfinf2 
|- E. x ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ax-inf2 
 |-  E. x ( E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) /\ A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) )
2 0el 
 |-  ( (/) e. x <-> E. y e. x A. z -. z e. y )
3 df-rex 
 |-  ( E. y e. x A. z -. z e. y <-> E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) )
4 2 3 bitri 
 |-  ( (/) e. x <-> E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) )
5 sucel 
 |-  ( suc y e. x <-> E. z e. x A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) )
6 df-rex 
 |-  ( E. z e. x A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) <-> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) )
7 5 6 bitri 
 |-  ( suc y e. x <-> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) )
8 7 ralbii 
 |-  ( A. y e. x suc y e. x <-> A. y e. x E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) )
9 df-ral 
 |-  ( A. y e. x E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) <-> A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) )
10 8 9 bitri 
 |-  ( A. y e. x suc y e. x <-> A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) )
11 4 10 anbi12i 
 |-  ( ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) <-> ( E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) /\ A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) ) )
12 11 exbii 
 |-  ( E. x ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) <-> E. x ( E. y ( y e. x /\ A. z -. z e. y ) /\ A. y ( y e. x -> E. z ( z e. x /\ A. w ( w e. z <-> ( w e. y \/ w = y ) ) ) ) ) )
13 1 12 mpbir 
 |-  E. x ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x )