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Theorem axsepg2

Description: A generalization of ax-sep in which y and z need not be distinct. See also axsepg which instead allows z to occur in ph . Usage of this theorem is discouraged because it depends on ax-13 . (Contributed by BTernaryTau, 3-Aug-2025) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion axsepg2 y x x y x z φ

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nfv x ¬ y y = z
2 nfvd ¬ y y = z y x w
3 nfcvf ¬ y y = z _ y z
4 3 nfcrd ¬ y y = z y x z
5 nfvd ¬ y y = z y φ
6 4 5 nfand ¬ y y = z y x z φ
7 2 6 nfbid ¬ y y = z y x w x z φ
8 1 7 nfald ¬ y y = z y x x w x z φ
9 nfvd ¬ y y = z w x x y x z φ
10 elequ2 w = y x w x y
11 10 bibi1d w = y x w x z φ x y x z φ
12 11 biimpd w = y x w x z φ x y x z φ
13 12 alimdv w = y x x w x z φ x x y x z φ
14 13 a1i ¬ y y = z w = y x x w x z φ x x y x z φ
15 elequ2 y = z x y x z
16 15 anbi1d y = z x y φ x z φ
17 16 bibi2d y = z x y x y φ x y x z φ
18 17 biimpd y = z x y x y φ x y x z φ
19 18 alimdv y = z x x y x y φ x x y x z φ
20 19 sps y y = z x x y x y φ x x y x z φ
21 ax-sep w x x w x z φ
22 ax-nul y x ¬ x y
23 id ¬ x y ¬ x y
24 23 bianfd ¬ x y x y x y φ
25 24 alimi x ¬ x y x x y x y φ
26 22 25 eximii y x x y x y φ
27 8 9 14 20 21 26 dvelimexcasei y x x y x z φ