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Theorem bj-imdirval2lem

Description: Lemma for bj-imdirval2 and bj-iminvval2 . (Contributed by BJ, 23-May-2024)

Ref Expression
Hypotheses bj-imdirval2lem.exa φ A U
bj-imdirval2lem.exb φ B V
Assertion bj-imdirval2lem φ x y | x A y B ψ V

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bj-imdirval2lem.exa φ A U
2 bj-imdirval2lem.exb φ B V
3 1 pwexd φ 𝒫 A V
4 2 pwexd φ 𝒫 B V
5 simprl φ x A y B x A
6 velpw x 𝒫 A x A
7 5 6 sylibr φ x A y B x 𝒫 A
8 simprr φ x A y B y B
9 velpw y 𝒫 B y B
10 8 9 sylibr φ x A y B y 𝒫 B
11 3 4 7 10 opabex2 φ x y | x A y B V
12 simpl x A y B ψ x A y B
13 12 ssopab2i x y | x A y B ψ x y | x A y B
14 13 a1i φ x y | x A y B ψ x y | x A y B
15 11 14 ssexd φ x y | x A y B ψ V