cdlemk16a

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 3-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk1.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
	cdlemk1.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
	cdlemk1.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
	cdlemk1.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
	cdlemk1.a	$⊢ A = Atoms (K)$
	cdlemk1.h	$⊢ H = LHyp (K)$
	cdlemk1.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
	cdlemk1.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
	cdlemk1.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
	cdlemk1.o	$⊢ O = S (D)$
Assertion	cdlemk16a	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to ((P \underset{˙}{\lor} R (G)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})) \in A \land \neg ((P \underset{˙}{\lor} R (G)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} W)$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk1.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
2		cdlemk1.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
3		cdlemk1.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
4		cdlemk1.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
5		cdlemk1.a	$⊢ A = Atoms (K)$
6		cdlemk1.h	$⊢ H = LHyp (K)$
7		cdlemk1.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
8		cdlemk1.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
9		cdlemk1.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
10		cdlemk1.o	$⊢ O = S (D)$
11		simp11	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to (K \in HL \land W \in H)$
12		simp22	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to D \in T$
13		simp13	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to G \in T$
14		simp33	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W)$
15		simp21	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to F \in T$
16		simp23	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to N \in T$
17		simp12	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to R (F) = R (N)$
18		simp321	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to F \neq {I ↾}_{B}$
19		simp323	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to D \neq {I ↾}_{B}$
20		simp31l	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to R (D) \neq R (F)$
21	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemkoatnle	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to (O (P) \in A \land \neg O (P) \underset{˙}{\leq} W)$
22	11 15 12 16 14 17 18 19 20 21	syl333anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to (O (P) \in A \land \neg O (P) \underset{˙}{\leq} W)$
23	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemkole	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land F \in T \land D \in T) \land (N \in T \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land R (F) = R (N)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (F))) \to O (P) \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D))$
24	11 15 12 16 14 17 18 19 20 23	syl333anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to O (P) \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D))$
25		simp322	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to G \neq {I ↾}_{B}$
26		simp31r	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to R (D) \neq R (G)$
27		eqid	$⊢ (P \underset{˙}{\lor} R (G)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})) = (P \underset{˙}{\lor} R (G)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))$
28	1 2 3 4 5 6 7 8 27	cdlemh	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land D \in T \land G \in T) \land ((P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land (O (P) \in A \land \neg O (P) \underset{˙}{\leq} W) \land O (P) \underset{˙}{\leq} (P \underset{˙}{\lor} R (D))) \land (D \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land R (D) \neq R (G))) \to ((P \underset{˙}{\lor} R (G)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})) \in A \land \neg ((P \underset{˙}{\lor} R (G)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} W)$
29	11 12 13 14 22 24 19 25 26 28	syl333anc	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land R (F) = R (N) \land G \in T) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land ((R (D) \neq R (F) \land R (D) \neq R (G)) \land (F \neq {I ↾}_{B} \land G \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W))) \to ((P \underset{˙}{\lor} R (G)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1})) \in A \land \neg ((P \underset{˙}{\lor} R (G)) \underset{˙}{\land} (O (P) \underset{˙}{\lor} R (G \circ D^{-1}))) \underset{˙}{\leq} W)$

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Theorem cdlemk16a

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