Theorem cnima

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006)

	Ref	Expression
Assertion	cnima	$$⊢\left(F\in \left(J\mathrm{Cn}K\right)\wedge A\in K\right)\to F^{-1}\left[A\right]\in J$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid	$$⊢\bigcup J=\bigcup J$$
2		eqid	$$⊢\bigcup K=\bigcup K$$
3	1 2	iscn2	$$⊢F\in \left(J\mathrm{Cn}K\right)\leftrightarrow \left(\left(J\in \mathrm{Top}\wedge K\in \mathrm{Top}\right)\wedge \left(F:\bigcup J⟶\bigcup K\wedge \forall x\in K{F}^{-1}\left[x\right]\in J\right)\right)$$
4	3	simprbi	$$⊢F\in \left(J\mathrm{Cn}K\right)\to \left(F:\bigcup J⟶\bigcup K\wedge \forall x\in K{F}^{-1}\left[x\right]\in J\right)$$
5	4	simprd	$$⊢F\in \left(J\mathrm{Cn}K\right)\to \forall x\in K{F}^{-1}\left[x\right]\in J$$
6		imaeq2	$$⊢x=A\to F^{-1}\left[x\right]=F^{-1}\left[A\right]$$
7	6	eleq1d	$$⊢x=A\to \left(F^{-1}\left[x\right]\in J\leftrightarrow F^{-1}\left[A\right]\in J\right)$$
8	7	rspccva	$$⊢\left(\forall x\in K{F}^{-1}\left[x\right]\in J\wedge A\in K\right)\to F^{-1}\left[A\right]\in J$$
9	5 8	sylan	$$⊢\left(F\in \left(J\mathrm{Cn}K\right)\wedge A\in K\right)\to F^{-1}\left[A\right]\in J$$