Theorem disj3

Description: Two ways of saying that two classes are disjoint. (Contributed by NM, 19-May-1998)

	Ref	Expression
Assertion	disj3	$$⊢A\cap B=\varnothing \leftrightarrow A=A\setminus B$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.71	$$⊢\left(x\in A\to \neg x\in B\right)\leftrightarrow \left(x\in A\leftrightarrow \left(x\in A\wedge \neg x\in B\right)\right)$$
2		eldif	$$⊢x\in \left(A\setminus B\right)\leftrightarrow \left(x\in A\wedge \neg x\in B\right)$$
3	2	bibi2i	$$⊢\left(x\in A\leftrightarrow x\in \left(A\setminus B\right)\right)\leftrightarrow \left(x\in A\leftrightarrow \left(x\in A\wedge \neg x\in B\right)\right)$$
4	1 3	bitr4i	$$⊢\left(x\in A\to \neg x\in B\right)\leftrightarrow \left(x\in A\leftrightarrow x\in \left(A\setminus B\right)\right)$$
5	4	albii	$$⊢\forall x\left(x\in A\to \neg x\in B\right)\leftrightarrow \forall x\left(x\in A\leftrightarrow x\in \left(A\setminus B\right)\right)$$
6		disj1	$$⊢A\cap B=\varnothing \leftrightarrow \forall x\left(x\in A\to \neg x\in B\right)$$
7		dfcleq	$$⊢A=A\setminus B\leftrightarrow \forall x\left(x\in A\leftrightarrow x\in \left(A\setminus B\right)\right)$$
8	5 6 7	3bitr4i	$$⊢A\cap B=\varnothing \leftrightarrow A=A\setminus B$$