Theorem eqlei2

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018)

	Ref	Expression
Hypothesis	lt.1	$$⊢A\in ℝ$$
Assertion	eqlei2	$$⊢B=A\to B\le A$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	$$⊢A\in ℝ$$
2		eleq1a	$$⊢A\in ℝ\to \left(B=A\to B\in ℝ\right)$$
3	1 2	ax-mp	$$⊢B=A\to B\in ℝ$$
4		eqcom	$$⊢B=A\leftrightarrow A=B$$
5		letri3	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(A=B\leftrightarrow \left(A\le B\wedge B\le A\right)\right)$$
6	1 5	mpan	$$⊢B\in ℝ\to \left(A=B\leftrightarrow \left(A\le B\wedge B\le A\right)\right)$$
7	4 6	bitrid	$$⊢B\in ℝ\to \left(B=A\leftrightarrow \left(A\le B\wedge B\le A\right)\right)$$
8		simpr	$$⊢\left(A\le B\wedge B\le A\right)\to B\le A$$
9	7 8	biimtrdi	$$⊢B\in ℝ\to \left(B=A\to B\le A\right)$$
10	3 9	mpcom	$$⊢B=A\to B\le A$$