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Theorem impsingle-imim1

Description: Derivation of impsingle-imim1 ( imim1 ) from ax-mp and impsingle . It is step 29 in Lukasiewicz. (Contributed by Larry Lesyna and Jeffrey P. Machado, 2-Aug-2023) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

		Ref	Expression
	Assertion	impsingle-imim1	$⊢ (φ \to ψ) \to ((ψ \to χ) \to (φ \to χ))$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		impsingle-step21	$⊢ (((φ \to χ) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to χ) \to (φ \to χ))$
2		impsingle-step25	$⊢ (φ \to ψ) \to (((φ \to χ) \to ψ) \to ψ)$
3		impsingle-step25	$⊢ ((φ \to ψ) \to (((φ \to χ) \to ψ) \to ψ)) \to ((((φ \to ψ) \to ((ψ \to χ) \to (φ \to χ))) \to (((φ \to χ) \to ψ) \to ψ)) \to (((φ \to χ) \to ψ) \to ψ))$
4	2 3	ax-mp	$⊢ (((φ \to ψ) \to ((ψ \to χ) \to (φ \to χ))) \to (((φ \to χ) \to ψ) \to ψ)) \to (((φ \to χ) \to ψ) \to ψ)$
5		impsingle-step21	$⊢ ((((φ \to ψ) \to ((ψ \to χ) \to (φ \to χ))) \to (((φ \to χ) \to ψ) \to ψ)) \to (((φ \to χ) \to ψ) \to ψ)) \to (((((φ \to χ) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to χ) \to (φ \to χ))) \to ((φ \to ψ) \to ((ψ \to χ) \to (φ \to χ))))$
6	4 5	ax-mp	$⊢ ((((φ \to χ) \to ψ) \to ψ) \to ((ψ \to χ) \to (φ \to χ))) \to ((φ \to ψ) \to ((ψ \to χ) \to (φ \to χ)))$
7	1 6	ax-mp	$⊢ (φ \to ψ) \to ((ψ \to χ) \to (φ \to χ))$