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Theorem latj4

Description: Rearrangement of lattice join of 4 classes. ( chj4 analog.) (Contributed by NM, 14-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses latjass.b ⊢ B = Base K
latjass.j ⊢ ∨ ˙ = join ⁡ K
Assertion latj4 ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → X ∨ ˙ Y ∨ ˙ Z ∨ ˙ W = X ∨ ˙ Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ W

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latjass.b ⊢ B = Base K
2 latjass.j ⊢ ∨ ˙ = join ⁡ K
3 simp1 ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → K ∈ Lat
4 simp2r ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → Y ∈ B
5 simp3l ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → Z ∈ B
6 simp3r ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → W ∈ B
7 1 2 latj12 ⊢ K ∈ Lat ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → Y ∨ ˙ Z ∨ ˙ W = Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ W
8 3 4 5 6 7 syl13anc ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → Y ∨ ˙ Z ∨ ˙ W = Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ W
9 8 oveq2d ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → X ∨ ˙ Y ∨ ˙ Z ∨ ˙ W = X ∨ ˙ Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ W
10 simp2l ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → X ∈ B
11 1 2 latjcl ⊢ K ∈ Lat ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → Z ∨ ˙ W ∈ B
12 3 5 6 11 syl3anc ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → Z ∨ ˙ W ∈ B
13 1 2 latjass ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∨ ˙ W ∈ B → X ∨ ˙ Y ∨ ˙ Z ∨ ˙ W = X ∨ ˙ Y ∨ ˙ Z ∨ ˙ W
14 3 10 4 12 13 syl13anc ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → X ∨ ˙ Y ∨ ˙ Z ∨ ˙ W = X ∨ ˙ Y ∨ ˙ Z ∨ ˙ W
15 1 2 latjcl ⊢ K ∈ Lat ∧ Y ∈ B ∧ W ∈ B → Y ∨ ˙ W ∈ B
16 3 4 6 15 syl3anc ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → Y ∨ ˙ W ∈ B
17 1 2 latjass ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ Y ∨ ˙ W ∈ B → X ∨ ˙ Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ W = X ∨ ˙ Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ W
18 3 10 5 16 17 syl13anc ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → X ∨ ˙ Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ W = X ∨ ˙ Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ W
19 9 14 18 3eqtr4d ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ W ∈ B → X ∨ ˙ Y ∨ ˙ Z ∨ ˙ W = X ∨ ˙ Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ W