ltaddsubsd

Description: Surreal less-than relationship between subtraction and addition. (Contributed by Scott Fenton, 28-Feb-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	ltsubadds.1	$⊢ φ \to A \in No$
	ltsubadds.2	$⊢ φ \to B \in No$
	ltsubadds.3	$⊢ φ \to C \in No$
Assertion	ltaddsubsd	$⊢ φ \to ((A +_{s} B) <_{s} C \leftrightarrow A <_{s} (C -_{s} B))$

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubadds.1	$⊢ φ \to A \in No$
2		ltsubadds.2	$⊢ φ \to B \in No$
3		ltsubadds.3	$⊢ φ \to C \in No$
4	1 2	addscld	$⊢ φ \to A +_{s} B \in No$
5	4 3 2	ltsubs1d	$⊢ φ \to ((A +_{s} B) <_{s} C \leftrightarrow ((A +_{s} B) -_{s} B) <_{s} (C -_{s} B))$
6		pncans	$⊢ (A \in No \land B \in No) \to (A +_{s} B) -_{s} B = A$
7	1 2 6	syl2anc	$⊢ φ \to (A +_{s} B) -_{s} B = A$
8	7	breq1d	$⊢ φ \to (((A +_{s} B) -_{s} B) <_{s} (C -_{s} B) \leftrightarrow A <_{s} (C -_{s} B))$
9	5 8	bitrd	$⊢ φ \to ((A +_{s} B) <_{s} C \leftrightarrow A <_{s} (C -_{s} B))$

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