Theorem ltnltne

Description: Variant of trichotomy law for 'less than'. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018)

	Ref	Expression
Assertion	ltnltne	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(A<B\leftrightarrow \left(\neg B<A\wedge \neg B=A\right)\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnle	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(A<B\leftrightarrow \neg B\le A\right)$$
2		leloe	$$⊢\left(B\in ℝ\wedge A\in ℝ\right)\to \left(B\le A\leftrightarrow \left(B<A\vee B=A\right)\right)$$
3	2	ancoms	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(B\le A\leftrightarrow \left(B<A\vee B=A\right)\right)$$
4	3	notbid	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(\neg B\le A\leftrightarrow \neg \left(B<A\vee B=A\right)\right)$$
5		ioran	$$⊢\neg \left(B<A\vee B=A\right)\leftrightarrow \left(\neg B<A\wedge \neg B=A\right)$$
6	5	a1i	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(\neg \left(B<A\vee B=A\right)\leftrightarrow \left(\neg B<A\wedge \neg B=A\right)\right)$$
7	1 4 6	3bitrd	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(A<B\leftrightarrow \left(\neg B<A\wedge \neg B=A\right)\right)$$