Theorem lttri2

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by NM, 9-Oct-1999)

	Ref	Expression
Assertion	lttri2	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(A\ne B\leftrightarrow \left(A<B\vee B<A\right)\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso	$$⊢<\mathrm{Or}ℝ$$
2		sotrieq	$$⊢\left(<\mathrm{Or}ℝ\wedge \left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\right)\to \left(A=B\leftrightarrow \neg \left(A<B\vee B<A\right)\right)$$
3	1 2	mpan	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(A=B\leftrightarrow \neg \left(A<B\vee B<A\right)\right)$$
4	3	bicomd	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(\neg \left(A<B\vee B<A\right)\leftrightarrow A=B\right)$$
5	4	necon1abid	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(A\ne B\leftrightarrow \left(A<B\vee B<A\right)\right)$$