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Theorem padd4N

Description: Rearrangement of 4 terms in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 14-Jan-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses paddass.a A = Atoms K
paddass.p + ˙ = + 𝑃 K
Assertion padd4N K HL X A Y A Z A W A X + ˙ Y + ˙ Z + ˙ W = X + ˙ Z + ˙ Y + ˙ W

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 paddass.a A = Atoms K
2 paddass.p + ˙ = + 𝑃 K
3 simp1 K HL X A Y A Z A W A K HL
4 simp2r K HL X A Y A Z A W A Y A
5 simp3l K HL X A Y A Z A W A Z A
6 simp3r K HL X A Y A Z A W A W A
7 1 2 padd12N K HL Y A Z A W A Y + ˙ Z + ˙ W = Z + ˙ Y + ˙ W
8 3 4 5 6 7 syl13anc K HL X A Y A Z A W A Y + ˙ Z + ˙ W = Z + ˙ Y + ˙ W
9 8 oveq2d K HL X A Y A Z A W A X + ˙ Y + ˙ Z + ˙ W = X + ˙ Z + ˙ Y + ˙ W
10 simp2l K HL X A Y A Z A W A X A
11 1 2 paddssat K HL Z A W A Z + ˙ W A
12 3 5 6 11 syl3anc K HL X A Y A Z A W A Z + ˙ W A
13 1 2 paddass K HL X A Y A Z + ˙ W A X + ˙ Y + ˙ Z + ˙ W = X + ˙ Y + ˙ Z + ˙ W
14 3 10 4 12 13 syl13anc K HL X A Y A Z A W A X + ˙ Y + ˙ Z + ˙ W = X + ˙ Y + ˙ Z + ˙ W
15 1 2 paddssat K HL Y A W A Y + ˙ W A
16 3 4 6 15 syl3anc K HL X A Y A Z A W A Y + ˙ W A
17 1 2 paddass K HL X A Z A Y + ˙ W A X + ˙ Z + ˙ Y + ˙ W = X + ˙ Z + ˙ Y + ˙ W
18 3 10 5 16 17 syl13anc K HL X A Y A Z A W A X + ˙ Z + ˙ Y + ˙ W = X + ˙ Z + ˙ Y + ˙ W
19 9 14 18 3eqtr4d K HL X A Y A Z A W A X + ˙ Y + ˙ Z + ˙ W = X + ˙ Z + ˙ Y + ˙ W