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Theorem trsbcVD

Description: Formula-building inference rule for class substitution, substituting a class variable for the setvar variable of the transitivity predicate. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. trsbc is trsbcVD without virtual deductions and was automatically derived from trsbcVD .

1:: |- (. A e. B ->. A e. B ).
2:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. z e. y <-> z e. y ) ).
3:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. y e. x <-> y e. A ) ).
4:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. z e. x <-> z e. A ) ).
5:1,2,3,4: |- (. A e. B ->. ( ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ).
6:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) ) ).
7:5,6: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ).
8:: |- ( ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) )
9:7,8: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
10:: |- ( ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
11:10: |- A. x ( ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
12:1,11: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ).
13:9,12: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
14:13: |- (. A e. B ->. A. y ( [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
15:14: |- (. A e. B ->. ( A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
16:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ).
17:15,16: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
18:17: |- (. A e. B ->. A. z ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
19:18: |- (. A e. B ->. ( A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
20:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ).
21:19,20: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
22:: |- ( Tr A <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) )
23:21,22: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> Tr A ) ).
24:: |- ( Tr x <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
25:24: |- A. x ( Tr x <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
26:1,25: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. Tr x <-> [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ).
27:23,26: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. Tr x <-> Tr A ) ).
qed:27: |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. Tr x <-> Tr A ) )
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion trsbcVD A B [˙A / x]˙ Tr x Tr A

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 idn1 A B A B
2 sbcg A B [˙A / x]˙ z y z y
3 1 2 e1a A B [˙A / x]˙ z y z y
4 sbcel2gv A B [˙A / x]˙ y x y A
5 1 4 e1a A B [˙A / x]˙ y x y A
6 sbcel2gv A B [˙A / x]˙ z x z A
7 1 6 e1a A B [˙A / x]˙ z x z A
8 imbi13 [˙A / x]˙ z y z y [˙A / x]˙ y x y A [˙A / x]˙ z x z A [˙A / x]˙ z y [˙A / x]˙ y x [˙A / x]˙ z x z y y A z A
9 8 a1i A B [˙A / x]˙ z y z y [˙A / x]˙ y x y A [˙A / x]˙ z x z A [˙A / x]˙ z y [˙A / x]˙ y x [˙A / x]˙ z x z y y A z A
10 1 3 5 7 9 e1111 A B [˙A / x]˙ z y [˙A / x]˙ y x [˙A / x]˙ z x z y y A z A
11 sbcim2g A B [˙A / x]˙ z y y x z x [˙A / x]˙ z y [˙A / x]˙ y x [˙A / x]˙ z x
12 1 11 e1a A B [˙A / x]˙ z y y x z x [˙A / x]˙ z y [˙A / x]˙ y x [˙A / x]˙ z x
13 bibi1 [˙A / x]˙ z y y x z x [˙A / x]˙ z y [˙A / x]˙ y x [˙A / x]˙ z x [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A [˙A / x]˙ z y [˙A / x]˙ y x [˙A / x]˙ z x z y y A z A
14 13 biimprcd [˙A / x]˙ z y [˙A / x]˙ y x [˙A / x]˙ z x z y y A z A [˙A / x]˙ z y y x z x [˙A / x]˙ z y [˙A / x]˙ y x [˙A / x]˙ z x [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A
15 10 12 14 e11 A B [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A
16 pm3.31 z y y A z A z y y A z A
17 pm3.3 z y y A z A z y y A z A
18 16 17 impbii z y y A z A z y y A z A
19 bibi1 [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A z y y A z A z y y A z A
20 19 biimprd [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A z y y A z A z y y A z A [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A
21 15 18 20 e10 A B [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A
22 pm3.31 z y y x z x z y y x z x
23 pm3.3 z y y x z x z y y x z x
24 22 23 impbii z y y x z x z y y x z x
25 24 ax-gen x z y y x z x z y y x z x
26 sbcbi A B x z y y x z x z y y x z x [˙A / x]˙ z y y x z x [˙A / x]˙ z y y x z x
27 1 25 26 e10 A B [˙A / x]˙ z y y x z x [˙A / x]˙ z y y x z x
28 bitr3 [˙A / x]˙ z y y x z x [˙A / x]˙ z y y x z x [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A
29 28 com12 [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A [˙A / x]˙ z y y x z x [˙A / x]˙ z y y x z x [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A
30 21 27 29 e11 A B [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A
31 30 gen11 A B y [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A
32 albi y [˙A / x]˙ z y y x z x z y y A z A y [˙A / x]˙ z y y x z x y z y y A z A
33 31 32 e1a A B y [˙A / x]˙ z y y x z x y z y y A z A
34 sbcal [˙A / x]˙ y z y y x z x y [˙A / x]˙ z y y x z x
35 34 a1i A B [˙A / x]˙ y z y y x z x y [˙A / x]˙ z y y x z x
36 1 35 e1a A B [˙A / x]˙ y z y y x z x y [˙A / x]˙ z y y x z x
37 bibi1 [˙A / x]˙ y z y y x z x y [˙A / x]˙ z y y x z x [˙A / x]˙ y z y y x z x y z y y A z A y [˙A / x]˙ z y y x z x y z y y A z A
38 37 biimprcd y [˙A / x]˙ z y y x z x y z y y A z A [˙A / x]˙ y z y y x z x y [˙A / x]˙ z y y x z x [˙A / x]˙ y z y y x z x y z y y A z A
39 33 36 38 e11 A B [˙A / x]˙ y z y y x z x y z y y A z A
40 39 gen11 A B z [˙A / x]˙ y z y y x z x y z y y A z A
41 albi z [˙A / x]˙ y z y y x z x y z y y A z A z [˙A / x]˙ y z y y x z x z y z y y A z A
42 40 41 e1a A B z [˙A / x]˙ y z y y x z x z y z y y A z A
43 sbcal [˙A / x]˙ z y z y y x z x z [˙A / x]˙ y z y y x z x
44 43 a1i A B [˙A / x]˙ z y z y y x z x z [˙A / x]˙ y z y y x z x
45 1 44 e1a A B [˙A / x]˙ z y z y y x z x z [˙A / x]˙ y z y y x z x
46 bibi1 [˙A / x]˙ z y z y y x z x z [˙A / x]˙ y z y y x z x [˙A / x]˙ z y z y y x z x z y z y y A z A z [˙A / x]˙ y z y y x z x z y z y y A z A
47 46 biimprcd z [˙A / x]˙ y z y y x z x z y z y y A z A [˙A / x]˙ z y z y y x z x z [˙A / x]˙ y z y y x z x [˙A / x]˙ z y z y y x z x z y z y y A z A
48 42 45 47 e11 A B [˙A / x]˙ z y z y y x z x z y z y y A z A
49 dftr2 Tr A z y z y y A z A
50 biantr [˙A / x]˙ z y z y y x z x z y z y y A z A Tr A z y z y y A z A [˙A / x]˙ z y z y y x z x Tr A
51 50 ex [˙A / x]˙ z y z y y x z x z y z y y A z A Tr A z y z y y A z A [˙A / x]˙ z y z y y x z x Tr A
52 48 49 51 e10 A B [˙A / x]˙ z y z y y x z x Tr A
53 dftr2 Tr x z y z y y x z x
54 53 ax-gen x Tr x z y z y y x z x
55 sbcbi A B x Tr x z y z y y x z x [˙A / x]˙ Tr x [˙A / x]˙ z y z y y x z x
56 1 54 55 e10 A B [˙A / x]˙ Tr x [˙A / x]˙ z y z y y x z x
57 bibi1 [˙A / x]˙ Tr x [˙A / x]˙ z y z y y x z x [˙A / x]˙ Tr x Tr A [˙A / x]˙ z y z y y x z x Tr A
58 57 biimprcd [˙A / x]˙ z y z y y x z x Tr A [˙A / x]˙ Tr x [˙A / x]˙ z y z y y x z x [˙A / x]˙ Tr x Tr A
59 52 56 58 e11 A B [˙A / x]˙ Tr x Tr A
60 59 in1 A B [˙A / x]˙ Tr x Tr A