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Theorem trsbcVD

Description: Formula-building inference rule for class substitution, substituting a class variable for the setvar variable of the transitivity predicate. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. trsbc is trsbcVD without virtual deductions and was automatically derived from trsbcVD .

1:: |- (. A e. B ->. A e. B ).
2:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. z e. y <-> z e. y ) ).
3:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. y e. x <-> y e. A ) ).
4:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. z e. x <-> z e. A ) ).
5:1,2,3,4: |- (. A e. B ->. ( ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ).
6:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) ) ).
7:5,6: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ).
8:: |- ( ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) )
9:7,8: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
10:: |- ( ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
11:10: |- A. x ( ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
12:1,11: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ).
13:9,12: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
14:13: |- (. A e. B ->. A. y ( [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
15:14: |- (. A e. B ->. ( A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
16:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ).
17:15,16: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
18:17: |- (. A e. B ->. A. z ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
19:18: |- (. A e. B ->. ( A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
20:1: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ).
21:19,20: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
22:: |- ( Tr A <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) )
23:21,22: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> Tr A ) ).
24:: |- ( Tr x <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
25:24: |- A. x ( Tr x <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
26:1,25: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. Tr x <-> [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ).
27:23,26: |- (. A e. B ->. ( [. A / x ]. Tr x <-> Tr A ) ).
qed:27: |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. Tr x <-> Tr A ) )
(Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion trsbcVD 
|- ( A e. B -> ( [. A / x ]. Tr x <-> Tr A ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 idn1 
 |-  (. A e. B ->. A e. B ).
2 sbcg 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. z e. y <-> z e. y ) )
3 1 2 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. z e. y <-> z e. y ) ).
4 sbcel2gv 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. y e. x <-> y e. A ) )
5 1 4 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. y e. x <-> y e. A ) ).
6 sbcel2gv 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. z e. x <-> z e. A ) )
7 1 6 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. z e. x <-> z e. A ) ).
8 imbi13 
 |-  ( ( [. A / x ]. z e. y <-> z e. y ) -> ( ( [. A / x ]. y e. x <-> y e. A ) -> ( ( [. A / x ]. z e. x <-> z e. A ) -> ( ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ) ) )
9 8 a1i 
 |-  ( A e. B -> ( ( [. A / x ]. z e. y <-> z e. y ) -> ( ( [. A / x ]. y e. x <-> y e. A ) -> ( ( [. A / x ]. z e. x <-> z e. A ) -> ( ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ) ) ) )
10 1 3 5 7 9 e1111 
 |-  (. A e. B ->. ( ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ).
11 sbcim2g 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) ) )
12 1 11 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) ) ).
13 bibi1 
 |-  ( ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) ) -> ( ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) <-> ( ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ) )
14 13 biimprcd 
 |-  ( ( ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) -> ( ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) ) -> ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ) )
15 10 12 14 e11 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ).
16 pm3.31 
 |-  ( ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) -> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) )
17 pm3.3 
 |-  ( ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) -> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) )
18 16 17 impbii 
 |-  ( ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) )
19 bibi1 
 |-  ( ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) -> ( ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) <-> ( ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) )
20 19 biimprd 
 |-  ( ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) -> ( ( ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) -> ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) )
21 15 18 20 e10 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
22 pm3.31 
 |-  ( ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) -> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
23 pm3.3 
 |-  ( ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) -> ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) )
24 22 23 impbii 
 |-  ( ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
25 24 ax-gen 
 |-  A. x ( ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
26 sbcbi 
 |-  ( A e. B -> ( A. x ( ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) -> ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ) )
27 1 25 26 e10 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ).
28 bitr3 
 |-  ( ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) -> ( ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) -> ( [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) )
29 28 com12 
 |-  ( ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) -> ( ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) -> ( [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) )
30 21 27 29 e11 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
31 30 gen11 
 |-  (. A e. B ->. A. y ( [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
32 albi 
 |-  ( A. y ( [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) -> ( A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) )
33 31 32 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
34 sbcal 
 |-  ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
35 34 a1i 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) )
36 1 35 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ).
37 bibi1 
 |-  ( ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) -> ( ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) <-> ( A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) )
38 37 biimprcd 
 |-  ( ( A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) -> ( ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) -> ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) )
39 33 36 38 e11 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
40 39 gen11 
 |-  (. A e. B ->. A. z ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
41 albi 
 |-  ( A. z ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) -> ( A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) )
42 40 41 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
43 sbcal 
 |-  ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
44 43 a1i 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) )
45 1 44 e1a 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ).
46 bibi1 
 |-  ( ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) -> ( ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) <-> ( A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) )
47 46 biimprcd 
 |-  ( ( A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) -> ( ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) -> ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) )
48 42 45 47 e11 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ).
49 dftr2 
 |-  ( Tr A <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) )
50 biantr 
 |-  ( ( ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) /\ ( Tr A <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) -> ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> Tr A ) )
51 50 ex 
 |-  ( ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) -> ( ( Tr A <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) -> ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> Tr A ) ) )
52 48 49 51 e10 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> Tr A ) ).
53 dftr2 
 |-  ( Tr x <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
54 53 ax-gen 
 |-  A. x ( Tr x <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
55 sbcbi 
 |-  ( A e. B -> ( A. x ( Tr x <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) -> ( [. A / x ]. Tr x <-> [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ) )
56 1 54 55 e10 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. Tr x <-> [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) ).
57 bibi1 
 |-  ( ( [. A / x ]. Tr x <-> [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) -> ( ( [. A / x ]. Tr x <-> Tr A ) <-> ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> Tr A ) ) )
58 57 biimprcd 
 |-  ( ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> Tr A ) -> ( ( [. A / x ]. Tr x <-> [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) -> ( [. A / x ]. Tr x <-> Tr A ) ) )
59 52 56 58 e11 
 |-  (. A e. B ->. ( [. A / x ]. Tr x <-> Tr A ) ).
60 59 in1 
 |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. Tr x <-> Tr A ) )