Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sbcal |
|- ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) |
2 |
|
sbcal |
|- ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) |
3 |
|
sbcim2g |
|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) ) ) |
4 |
|
sbcg |
|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. z e. y <-> z e. y ) ) |
5 |
|
sbcel2gv |
|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. y e. x <-> y e. A ) ) |
6 |
|
sbcel2gv |
|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. z e. x <-> z e. A ) ) |
7 |
|
imbi13 |
|- ( ( [. A / x ]. z e. y <-> z e. y ) -> ( ( [. A / x ]. y e. x <-> y e. A ) -> ( ( [. A / x ]. z e. x <-> z e. A ) -> ( ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ) ) ) |
8 |
4 5 6 7
|
syl3c |
|- ( A e. V -> ( ( [. A / x ]. z e. y -> ( [. A / x ]. y e. x -> [. A / x ]. z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ) |
9 |
3 8
|
bitrd |
|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) ) |
10 |
|
pm3.31 |
|- ( ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) -> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) |
11 |
|
pm3.3 |
|- ( ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) -> ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) ) |
12 |
10 11
|
impbii |
|- ( ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) |
13 |
12
|
sbcbii |
|- ( [. A / x ]. ( z e. y -> ( y e. x -> z e. x ) ) <-> [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) |
14 |
|
pm3.31 |
|- ( ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) -> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) |
15 |
|
pm3.3 |
|- ( ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) -> ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) ) |
16 |
14 15
|
impbii |
|- ( ( z e. y -> ( y e. A -> z e. A ) ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) |
17 |
9 13 16
|
3bitr3g |
|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) |
18 |
17
|
albidv |
|- ( A e. V -> ( A. y [. A / x ]. ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) |
19 |
2 18
|
syl5bb |
|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) |
20 |
19
|
albidv |
|- ( A e. V -> ( A. z [. A / x ]. A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) |
21 |
1 20
|
syl5bb |
|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) ) |
22 |
|
dftr2 |
|- ( Tr x <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) |
23 |
22
|
sbcbii |
|- ( [. A / x ]. Tr x <-> [. A / x ]. A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) |
24 |
|
dftr2 |
|- ( Tr A <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. A ) -> z e. A ) ) |
25 |
21 23 24
|
3bitr4g |
|- ( A e. V -> ( [. A / x ]. Tr x <-> Tr A ) ) |