Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ps1.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
ps1.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
ps1.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
simp33 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) |
5 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
6 |
|
simp21 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
7 |
|
simp22 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
8 |
|
simp23 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 ) |
9 |
|
simp31 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
10 |
|
simp32 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
11 |
1 2 3
|
ps-1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) |
12 |
5 6 7 8 9 10 11
|
syl132anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) |
13 |
4 12
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) |
14 |
2 3
|
lnnat |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ 𝐴 ) ) |
15 |
5 6 7 14
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑄 ↔ ¬ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ 𝐴 ) ) |
16 |
8 15
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ¬ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ 𝐴 ) |
17 |
13 16
|
eqneltrrd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ¬ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ 𝐴 ) |
18 |
2 3
|
lnnat |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ≠ 𝑆 ↔ ¬ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ 𝐴 ) ) |
19 |
5 9 10 18
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑅 ≠ 𝑆 ↔ ¬ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ 𝐴 ) ) |
20 |
17 19
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑅 ≠ 𝑆 ) |