Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3cubeslem1.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ ) |
2 |
|
3re |
⊢ 3 ∈ ℝ |
3 |
2
|
a1i |
⊢ ( ⊤ → 3 ∈ ℝ ) |
4 |
|
3nn0 |
⊢ 3 ∈ ℕ0 |
5 |
4
|
a1i |
⊢ ( ⊤ → 3 ∈ ℕ0 ) |
6 |
3 5
|
reexpcld |
⊢ ( ⊤ → ( 3 ↑ 3 ) ∈ ℝ ) |
7 |
6
|
mptru |
⊢ ( 3 ↑ 3 ) ∈ ℝ |
8 |
7
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 ↑ 3 ) ∈ ℝ ) |
9 |
|
qre |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ ) |
10 |
4
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℚ → 3 ∈ ℕ0 ) |
11 |
9 10
|
reexpcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℚ → ( 𝐴 ↑ 3 ) ∈ ℝ ) |
12 |
1 11
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ↑ 3 ) ∈ ℝ ) |
13 |
8 12
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) ∈ ℝ ) |
14 |
|
1red |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ ) |
15 |
13 14
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
16 |
15
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
17 |
4
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ℕ0 ) |
18 |
16 17
|
expcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) ∈ ℂ ) |
19 |
13
|
renegcld |
⊢ ( 𝜑 → - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) ∈ ℝ ) |
20 |
19
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) ∈ ℂ ) |
21 |
2
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ℝ ) |
22 |
21
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ℂ ) |
23 |
22
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
24 |
|
qcn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ ) |
25 |
1 24
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
26 |
23 25
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
27 |
20 26
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
28 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
29 |
27 28
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ∈ ℂ ) |
30 |
29 17
|
expcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) ∈ ℂ ) |
31 |
8
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 3 ↑ 3 ) ∈ ℂ ) |
32 |
25
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
33 |
31 32
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
34 |
33 26
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
35 |
34 22
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ∈ ℂ ) |
36 |
35 17
|
expcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ∈ ℂ ) |
37 |
1
|
3cubeslem2 |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) = 0 ) |
38 |
37
|
neqned |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ≠ 0 ) |
39 |
|
3z |
⊢ 3 ∈ ℤ |
40 |
39
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 3 ∈ ℤ ) |
41 |
35 38 40
|
expne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ≠ 0 ) |
42 |
18 30 36 41
|
divdird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) + ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) = ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) ) |
43 |
42
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) + ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) ) |
44 |
18 30
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) + ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) ) ∈ ℂ ) |
45 |
34 17
|
expcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ↑ 3 ) ∈ ℂ ) |
46 |
44 45 36 41
|
divdird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) + ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ↑ 3 ) ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) + ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) ) |
47 |
16 35 38 17
|
expdivd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) = ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) |
48 |
47
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) = ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) ) |
49 |
48
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) ) |
50 |
29 35 38 17
|
expdivd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) = ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) |
51 |
50
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) = ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) ) |
52 |
51
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) ) |
53 |
34 35 38 17
|
expdivd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) = ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) |
54 |
53
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) ) |
55 |
49 52 54
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ↑ 3 ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) ) |
56 |
43 46 55
|
3eqtr4rd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) + ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ↑ 3 ) ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) |
57 |
1
|
3cubeslem3 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 · ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) = ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) + ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ↑ 3 ) ) ) |
58 |
57
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) = ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) ↑ 3 ) + ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) ↑ 3 ) ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) ) |
59 |
25 36 41
|
divcan4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) / ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ↑ 3 ) ) = 𝐴 ) |
60 |
56 58 59
|
3eqtr2rd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( ( ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) − 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) + ( ( ( ( - ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 3 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 1 ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) + ( ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) / ( ( ( ( 3 ↑ 3 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) + ( ( 3 ↑ 2 ) · 𝐴 ) ) + 3 ) ) ↑ 3 ) ) ) |